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[资料]熵的世界3 [复制链接]

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只看该作者 80楼 发表于: 2012-08-22  粉丝: 4   好友:3
统计物理的妙用
为了从玻尔兹曼因子得到真正的概率,我们把它除以一个系数Z,并且要求它满足概率归一条件ΣP=1。因此,Z是温度T的函数Z(T),Z(T)称为统计配分函数。在统计物理学中证明,只要知道了配分函数Z(T),一切热力学量都可以从它求出来,其中最重要的一个热力学函数称为自由能F=-kTlnZ(T)。自由能的重要意义在于:温度和体积一定时,系统处于平衡的条件,是自由能必须达到最小值。
从热力学的观点来看,自由能由两项组成F=U–ST,第一项内能U反映内部的能量,它与微观状态的能量Ei不同,是对各种状态平均后得到的结果。第二项是热运动和无序的宏观量度,其中出现了著名的熵S。自从1865年德国物理学家克劳修斯引入熵的概念以后,它曾经引起过多年的混乱和争议。
熵的统计解释主要是奥地得物理学家玻尔兹曼的功劳。玻尔兹曼在统计物理方面的贡献为分子、原子观念奠定了基础,他本人却因此受到学术界中保守势力的攻击。玻尔兹曼于1906年在忧郁之中自杀死去。至今在维也纳大学校园绿草如茵的树丛中,人们可以看到一座没有装饰和铭文的坟墓。在玻尔兹曼的胸像下面,刻着一个简短的公式S=kln(W)。这就是熵的统计解释:W是一个宏观状态对应的微观状态总数。如果温度T=0K时,只有唯一的能量最小的微观状态得以实现,那么熵也等于零。
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只看该作者 81楼 发表于: 2012-08-22  粉丝: 4   好友:3
理想气体
人们早就知道,描述物质状态的三个基本常数P、V、T不是相互独立的。一般说来,只要固定其中两个量,第三个量也就定下来了。换句话说,对于每种物质,这三个量之间有一个特定的函数关系F(P,T,V)=0,此式称为这种物质的状态方程。气体的状态方程是什么样的呢?
气体的特点之一是它充满整个容器。因此,对气体来说,V是指容器的体积,P是指对容器壁的压力。如果气体比较稀薄,可以略去分子之间的相互作用。通常把这种气体称为理想气体。从中学教科书中知道,对理想气体,早就总结出不少经验规律。
一条叫玻义尔定律:对于给定数量的气体,温度一定时,压力与体积成反比,也就是:PV=常数。另一条叫盖-吕萨克定律:在气体质量和压力确定时,体积与绝对温度T成正比V∝T。还有一条叫查理定律:在质量和体积固定时,压力与绝对温度成正比:P∝T。
将这三个式子合并,就得到一般情形下理想气体的状态方程:PV=nRT=nkT,n是气体的克分子数,R是气体常数。其实,R就是阿伏伽德罗常数和玻尔兹曼常数k的乘积:R=8.314焦耳/度;而N=n阿伏伽德罗就是气体的总分子数。
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只看该作者 82楼 发表于: 2012-08-22  粉丝: 4   好友:3
理想气体
在P、V、T为坐标轴的三维空间里,满足状态方程的点处在一个曲面上。为了直观起见,通常取各种截面,画成平面上的曲线。若固定温度,在P-V平面上,理想气体的状态用一组双曲线表示。这是一批“等温线”;图中阴暗部分是我们给范德瓦尔斯保留的位置,以后就会明白。相应地,在P-T平面上,理想气体的状态用一组通过原点的直线(等容线)表示。这些直线的起始部分都画成了虚线,因为当温度很低时,早已不能用理想气体的状态方程了。
说到这里,需要交待一下我们所说“体积”的确切含义,以及温度、压力的单位。为了忽略器壁的影响,我们往往设想体积推向无穷大的情况。更恰当的办法,是取单位质量所占有的体积,叫做“比容”。它的单位是立方厘米/克。我们以后仍用字母V代表,只在写出数值时注明量纲。比容的倒数ρ=1/V,即单位体积的质量,就是人们熟知的“密度”。ρ和V中可取任一个作自变量。
本书中大部分示意图,只简单地注明坐标是P、T或V,不给出数值和单位。为了使读者获得更清楚的物理感受,一些涉及具体物质的图中标出了坐标的数值。在“常温”区,我们通常用摄氏温标°C,而在低温区,则用绝对温标K。在超低温范围,常用绝对温标的千分之一,即毫度作单位,记为mK。
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只看该作者 83楼 发表于: 2012-08-22  粉丝: 4   好友:3
从物质的三态变化谈起
压力的单位稍复杂一些。这是因为历史上曾经取一定条件下76厘米高的水银柱重量作为压力单位,称为一个大气压。后来,为了和基本单位联系起来,又规定了每平方米受力十万牛顿为一个标准大气压,叫做巴。好在一个大气压等于1.01巴,可以近似地认为一个大气压就是1巴,而不过问它们之间的细微差别。本书中经常用巴作为压力单位,高压下用千巴作单位。
现在回到我们讨论的正题。读者可能已经注意到,理想气体是“永久气体”。这就是说,用状态方程PV=nRT描述的气体不会发生相变,不可能凝聚成液体。这一点很容易理解。从日常生活的经验中知道,液体有确定的体积,不一定充满整个容器。要从气态变成液态,必须靠分子之间的吸引力,使它们凝聚起来。理想气体的分子间没有相互作用,因此“聚”不起来。无论怎样改变温度和压力,它们永远处于一种状态——气相。
为了描述实际存在的气液转变和两相共存,必须找到更“现实”的状态方程。在介绍这种方程之前,先回顾一些基本的实验事实。在正常气压下,水降温到0度时结冰,升温到100度时沸腾成汽。这种气-液-固三态的变化早就为人类所观察和记载。人们还逐步认识到,物质的三态变化是自然界中非常普遍的现象。十分坚硬的金属,加热到足够高的温度,也能熔化为液体。对于物质状态变化的定量研究可以追溯到上一个世纪。这里最基本的问题是:物质的状态用温度T、压力P和体积V等宏观参数描述;这些参数一定时物质究竟处于什么状态?让我们从最简单的情形讨论起。
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只看该作者 84楼 发表于: 2012-08-22  粉丝: 4   好友:3
临界点
相变研究的一个基本任务是测定“相图”,就是找出在给定的温度T、压力P和体积V下物质处于什么相,确定不同相的“边界”。十九世纪就有人对气液相变进行过系统的研究。办法之一是将一定数量的液体(如水、乙醚或酒精)封在容器中,缓慢加热,测定压力随温度的变化。只要容器中同时存在着液体和它的蒸汽,气液两相就始终处于平衡状态中。这样测得的P-T曲线,画在P-T坐标中,就是气液的相界线。图2-3中定性地画出了这条相界线,它也叫汽化线。线下的状态对应气相,线上的状态对应液相。压力和温度沿这条线变化时,两个相同时共存。
如果压力保持不变,由液相开始加热升温,代表状态的点L在相图2-3(a)中沿水平线向右移动,与汽化线交于Q点,一部分液体开始汽化。这时尽管继续加热,温度却不再升高,一直保持。可见热量被吸收用于汽化。这种在相变点才表现出来的汽化热,是一种相变“潜热”。潜热转化为分子动能,使得气相比液相更无序。日常生活中大家都有这样的经验:手上沾了易挥发的酒精或乙醚,皮肤有凉爽之感,就是由于汽化吸收潜热所致。
液体全部汽化之后,温度才继续沿QG线升高。这是普通的气体加热过程。沿LQG线作实验,要不断改变系统的体积,才能实验压力不变的条件。这样的实验不能用前面讲的密封容器作。
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只看该作者 85楼 发表于: 2012-08-22  粉丝: 4   好友:3
临界点
考察图2-3(a)的相界线,人们会自然地提出一个问题:汽化线在不断升温或加压时会伸向无穷还是在某一点戛然而止?这个看起来简单的问题,使不少著名的物理学家在上一世纪困惑了将近五十年。他们都知道,液体在不停加热的过程中,最终会全部变成气体。但压力不同时,这种变化有什么差别,则不很清楚。
1869年英国物理学家安德鲁斯在皇家学会作了题为“论物质液态和气态的连续性”的报告,明确地回答了上述问题。他精确地测量了二氧化碳在液态与气态时的密度差,发现在31°C附近,这两者的差别消失了。这对应着气液相界线有一个明确的终点C,图2-3(b)。安德鲁斯把它称为“临界点”。其他物理学家也观察到了这个现象,发现在这个点潜热等于零,因此又称它为“绝对沸点”。安德鲁斯的命名抓住了关键,这是“临界点”这个名称保留至今的原因。
所谓“临界”,是指超过这个点以后液态和气态的差别不复存在,再问物质究竟处于气态或液态是没有意义的。在这以前,人们都认为物质最终会变成气态,而安德鲁斯则强调,临界点以上分不出气、液两相来。由于临界点的存在,可以使物质从液态连续地变到气态。例如,在图2-3(b)上,从处于液态的A点开始,只要按图中虚线变化压力和温度,就可以不经过任何相变点,达到对应气态的B点。
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只看该作者 86楼 发表于: 2012-08-30  粉丝: 0   好友:0
不懂。真的不懂啊。
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只看该作者 87楼 发表于: 2015-10-05  粉丝: 4   好友:3
大数定律
我称为牛顿-庞加莱统计,不只是借用他们的大名而已,事实上,和他们俩都有关系,第一牵扯到引力,第二牵扯到庞加莱复现原理。普里高京是俄罗斯人,后来到了比利时布鲁塞尔大学,获1972年诺贝尔化学奖。他提出了耗散结构理论,该理论是现代热力学标准内容之一,他的主张之一是涨落导致有序,他的想法经过我们的发展和强化,可以看出来确实有当年牛顿的风范。在他的著作《从混沌到有序》以及《从存在到演化》里详细讨论了庞加莱复现原理等内容。
庞加莱提出复现原理,试图给玻耳兹曼-爱因斯坦的平衡态热力学致命一击,普里高京举了粘菌的例子。粘菌的基因已经被人类完整测序,它们平时和普通细菌差不多,是单细胞生物。可是当饥荒来临时,它们就会通过释放化学信号临时整合成一个多细胞生物,此时涨落被放大,甚至成为了系统的主宰。这违反了平衡态热力学里的大数定律,在平衡态热力学里,涨落总是小量,不会是系统的主宰。另一个涨落被放大的例子是白蚁窝。
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只看该作者 88楼 发表于: 2015-10-26  粉丝: 4   好友:3
庞加莱回归
生命都符合庞加莱复现原理,它们都能够准确地复现自己。如果从热力学的角度看待生命,它们并不属于普里高津所说的远离平衡态的系统,它们应当归为线性热力学系统,这里有一个流,也就是生命周期。
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只看该作者 89楼 发表于: 2015-11-04  粉丝: 4   好友:3
宇宙的轮回
宇宙是个永动机,不是第三类永动机,破坏了热力学第二定律。这意味着宇宙中万物都在轮回,彭罗斯写过一个《宇宙的轮回》,在我们这里轮回的含意是符合庞加莱复现原理。庞加莱复现原理正是庞加莱试图给玻尔兹曼平衡态热力学以致命一击而提出的;不知道是不是这个原因导致玻尔兹曼自杀。不过,庞加莱复现原理在我们周围的环境中出现的几率太小,尽管有很多重量级人物支持庞加莱复现原理,庞加莱还是无法赢得胜利。
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只看该作者 90楼 发表于: 2015-11-12  粉丝: 4   好友:3
生机盎然
为了拯救热力学第二定律,人们发展了黑洞热力学。但是为什么要拯救热力学第二定律呢?顺其自然不是更好吗?在不考虑引力时,自然朝着均匀态演化,所以均匀(热平衡)代表高熵态;但在引力出现时,自然朝着聚集的方向演化,均匀却是低熵态。引力作用自然消除了过去所谓的宇宙“热寂”问题。换句话说,热运动使宇宙的熵增加,引力使宇宙的熵减小。
从量子引力的角度,可以这样理解。包含了引力和热力学的系统中,也包含了动态重整化,有个虚时间。我们的看法甚至与Boltzmann方程也是兼容的,可以将动态重整化看成是碰撞项。如何描述低熵或高熵状态,取决于动态重整化的结果。如果引力可以忽略,气体整齐收缩在某一角落时拥有低熵,气体扩散时拥有高熵。因此气体会扩散,导致宇宙熵增加。
一旦引力不可忽略,情况就会颠倒过来。一团有引力作用的气体倾向于聚集而不是扩散。引力会使粒子聚集成恒星和星系,熵也会随之显著减少。目前完全看不到宇宙有任何“热寂”的迹象,实际展现在人们面前的宇宙图像完全是一幅丰富多彩、千差万别、生机盎然的,与“热寂”所描述的图像完全背道而驰。与其竭力拯救热力学第二定律,不如承认热力学第二定律是一个忽略引力情况下才成立的特殊定律;一旦引力不可忽略,引力将使宇宙的熵减少,与观测事实一致。
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只看该作者 91楼 发表于: 09-18  粉丝: 4   好友:3
Mott绝缘体
Mott绝缘体似乎总是和长程反铁磁序密切关联在一起的。目前已知的Mott绝缘体都存在反铁磁长程序。除了在一维,没有反铁磁长程序的所谓自旋液体Mott绝缘体似乎并不存在。这里可能存在更为深刻的物理根源,但目前依然是个谜。长程反铁磁序很可能是动态重正化建立起来的。与铁磁体不同,反铁磁体的磁化率在奈尔点并不发散,只是呈现一个峰值,但比热仍然具有趋向无穷的尖峰;那比热尖峰的形状与液氦λ点很相近。在二级相变的临界点附近,最重要的特征是关联长度趋于无穷,动态重正化会利用这一点建立起长程有序,使得在临界点附近,平动熵急剧减少,比热的发散就是平动熵急剧减少的一个后果。量子统计可以解决Gibbs佯谬,用动态重正化也可以解决Gibbs佯谬。
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只看该作者 92楼 发表于: 09-21  粉丝: 4   好友:3
目瞪口呆
我们将Ginzburg-Landau模型的各种临界指数与实验值、平均场理论的结果、Ising模型严格计算的理论值作比较。当d =4时Ginzburg-Landau模型的结果与平均场理论的结果一致。当d =3时,Ginzburg-Landau模型的结果与实验值和(用数值计算求出的)三维Ising模型的结果很好地符合。然而,为什么会是这样的结果,从目前的相变和临界现象理论来看,实在是没有道理的。在指数作ε展开时,只保留了指数的最低阶近似。若取ε =1(相当于d = 3),展开式并不一定收敛。事实上级数中高阶项的贡献很大,从而破坏了上述与实验的符合。由于这个原因,ε展开被看成是一种渐进展开,亦即在其中级数前几项之和所给出的结果接近于级数的全部项之和。
Ginzburg-Landau模型和实验值的符合却是动态重正化预期的结果,动态重正化相当于ε =1的展开,并且没有发散的问题;另一方面,动态重正化在局部和Ginzburg-Landau方程是同构的,从而给出了正确的临界指数。这是我们得到的一个让人目瞪口呆的结果:由于Ginzburg-Landau模型是专门针对超导设计的,意味着所有的二级相变可能都是宏观量子化的。
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只看该作者 93楼 发表于: 10-06  粉丝: 4   好友:3
密度矩阵
处于热力学平衡态的量子力学系统可以存在于各种不同的能级。量子统计力学的结果表明,系统处于能量为E的状态的几率正比于 exp(-E/KT),式中k是Boltzmann常数,其值为1电子伏每11606K,kT是以自然能量为单位度量的温度。指数定律还不是真正的几率分布,因为它尚未归一化,归一化因子可以写成1/Z。系统处于热平衡的各种物理性质可以由指数分布推导出来。如果知道了可用温度、体积、外场等表示的单个函数,即配分函数Z,就可以求出内能、熵、压强等等所有标准的热力学量。直接求Z的微商,或等价地求自由能F的微商,就能得到这些热力学量。
要确定某些物理量,即使是系统处于热平衡,所需要的信息也不只是单个配分函数。例如,设系统处于具有坐标x的组态空间中,我们知道,如果系统处于由波函数φ(x)定义的单态中,那么,发现它处于x的几率是这波函数的模方φ*φ。这样,发现所有可能状态平均处于x的几率是P(x)= ρ(x', x) /Z。如果知道了函数ρ(x', x),在一般情况下,若我们对某个量A感兴趣,因为A是一个算符,则可以得到它的期待值。使用量ρ(x', x)时,可以设想A只作用于x',之后,在Aρ(x', x)中令x'等于x,最后再遍及所有x积分,这个过程称为找出Aρ的迹。
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只看该作者 94楼 发表于: 10-12  粉丝: 4   好友:3
一个谜
对温度不为零的热平衡态,物理量的平均值不能简单地和S矩阵的矩阵元相联系。但是在热平衡态上,密度矩阵ρ具有形式ρ = exp(-βH),其中β= 1/kT,H为系统的有效哈密顿算子。若将β看作虚时间it,ρ就和态矢量随时间发展的算子exp(-iHt)很相似。利用这一性质,可以引进一个随虚时间轴发展的S矩阵和格林函数。这种格林函数称作温度格林函数,它可以用来讨论系统处于热平衡的各种性质。
Surely you would hit it big with mystical types if you were to tell them that temperature is equivalent to cyclic imaginary time. At the arithmetic level this connection comes merely from the fact that the central objects in quantum physics exp(-iHt) and in thermal physics exp(-βH) are formally related by analytic continuation. Some physicists, myself included, feel that there may be something profound here that we have not quite understood. 量子力学和统计力学联系的纽带可能是“薛定锷蛋”理论。
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准静态过程
现在我们将说明一些有关体系从一个状态到另一个状态的转变过程问题。一般地说,这个问题的充分讨论,超出热力学的范围而是物理动力学的对象。对于不平衡的体系,单靠像温度、体积等参数来作状态的表征,一般来说,是不可能的。然而,如果外参数的变化过程进行的“很慢”,则在每一时刻所造成对平衡状态的破坏很小,而可以近似地认为体系在每一时刻都处于这样一种热动平衡的状态,这种状态也就是假定外界参数从那时刻起停止变化时体系所达到的状态。一种转变,如果进行的这样慢,以致任何时刻平衡状态的破坏都可以忽略时,这种转变就叫做准静态的转变。
若在转变过程中,平衡状态受到严重的破坏,那么这样的转变就叫做非静态的转变。