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[资料]熵的世界3 [复制链接]

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世纪疑谜——超导性与超流性
中子和氦3原子一样也是费米子,而中子配对的机制和氦3原子配对相似。但由于配对基于强相互作用,因此超流态的Tλ~1百亿K相应地非常高。
表8.1 在超导体、超流体与玻色凝聚体领域中诺贝尔奖获得者一览表
1913年  昂内斯  氦的液化和金属超导性的发现
1962年  朗道    凝聚态理论。特别是有关超流的理论
1972年  巴丁、库珀、施里弗    超导微观理论
1973年  贾埃佛、约瑟夫逊    超导隧道效应
1978年  卡皮查  发现氦4超流
1987年  柏诺兹、谬勒    发现高温超导体
1996年  李、沃谢罗夫、理查森    发现氦3超流态
2001年  康乃耳、惠曼、开特莱  实现了稀薄气体的玻色一爱因斯坦凝聚

2003年  阿布里柯索夫、金兹堡、莱格特  Ⅱ类超导体的磁通列阵、超导的宏观理论、氦3超流的微观理论
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空中楼阁——负温度
在日常生活中,一经提起零下的温度,人们就会想起凛冽寒风的冰雪世界。这是由于通用的摄氏温度的零点和水的冰点吻合。自从开尔文把温度的概念从温度计的限制中解放出来,将绝对温度建立在纯热力学基础上以来,就只考虑T>0,况且,第三定律又表明T=0尚达不到。于是乎,负温度似已杳如黄鹤,了无踪影。然而,要求温度必须取正值的理由何在呢?我们不妨来看一下简单的二能级系统。存在有两个能级,在这两个能级上的粒子数分别为N1N2

在热平衡态,两个能级上分布的粒子数应满足玻尔兹曼分布律。随着温度的上升,N2逐步加大,系统的内能和熵均随之增加。直到T=+∞,N1=N2,系统的熵达到极大值。从T=0T=+∞区域内,S/U为正值。因而根据热力学TUS应满足关系式1/T=S/U。如果继续将粒子抽运到高能级上,将会出现什么情况呢?此时,N2>N1,实现了粒子数的反转。

如果S=klogW仍然有效,那么将出现随着T的上升,内能继续增加而熵却减小的情形,即S/U<0的区域,对应于负温度区域。值得注意,这样定义的负温度区不处于T=0以下,而处于T=+∞之上,即比无限高温度更高。整个S-U曲线呈钟形,曲线的斜率即为温度的倒数,T+∞跳跃到-∞,一直到所有粒子均处于高能级上,U达到极大值,S=0T=-0
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空中楼阁——负温度
在负温度区出现粒子数的反转,也就是说背离了平衡态的Maxwell-玻尔兹曼分布。严格说来,系统已处于非平衡态。但实际物体中可能存在能级无上限的反常系统,例如由离散能级所构成的一个子系统(例如核自旋),它和晶格振动系统的耦合较弱,具有一定的独立性,在某种偏离平衡的状态,有可能观测到类似于负温度的迹象。

E.M.Purcell与R.V.Pound利用核磁共振技术观测氟化锂中锂7核与铁19核的磁化就是一例。他们先加磁场使核自旋沿场强方向顺向排列之后,突然倒转磁场方向,在瞬间观测到对应于核子数反转的负温度的现象,直到自旋-晶格相互作用导致热平衡重新建立为止。和负温度相对应的粒子数反转,在受激发射中得到了重要的实际应用。

早在1916年爱因斯坦就已经提出受激发射的基本理论。他分析了二能级系统中粒子跃迁产生的辐射和吸收的问题,认识到存在有三种不同的跃迁过程。在爱因斯坦的理论中,处于高能级或低能级上的单个粒子受激吸收与发射的跃迁几率是相同的,那么哪一过程占上风,就取决于低高能级上的粒子数的多少。由于在热平衡态N1> N2,所以通常条件下,受激发射就被受激吸收所掩盖了。
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空中楼阁——负温度
负温度现象在实验中被观测到不久以后,美国的C.H.Townes以及前苏联的A.H.Prokhorov与N.G.Basov相互独立地通过外加抽运,使粒子数发生反转,再用谐振腔选模,从而实现了微波的受激发射。到1958年汤斯与夏洛又提出在光波频段,采用两块平行平面反射镜所构成的法布里(Fabry-Porot)干涉仪,作为光频谐振腔的激光器的设想。1960年T.Maiman制出了第一台红宝石激光器,从此不同类型的激光器纷纷问世,并得到迅速发展。

激光单色性好,方向性强,而且功率和能量高度集中于特定光子模式中。激光的传播问题属于经典电磁波理论的范畴,宏观数的光子占据特定的能态,那就是一种和超流态相似的宏观量子效应。很有意思的是,光子气体的简并性异常突出,即使在高温也能反映出来。正是对于黑体辐射(如白炽灯的辐射)这类无序光子体系的理论研究,揭开了量子论的序幕。

以激光为代表的高度有序的光子体系,或形象地说,由光子砌成的琼楼玉宇是依靠了子系统产生负温度区域,它的构筑依赖于非平衡的抽运过程(类似于耗散结构的形成),以及人工制备的选模装置,和通常的低温条件无关。另一方面,利用激光致冷技术使碱金属稀薄气体达到μK以下的低温而进入玻色凝聚相干态,也被人们称为原子激光(其实不是光,只是相干的原子束,其性质和激光类似而已),确实是向绝对零度逼近的副产品。
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第三类永动机
在生物进化论的背后,存在两个带根本性的问题:一是生命的起源,即如何从无生命的物质变为有生命的物质。也可以说从无序到有序的问题;二是生物的遗传与变异。那就是从有序到有序的问题。对于第一个问题,目前科学家掌握的资料尚少,还没有得到明确的结论;而对于第二个问题,已经画出了一个基本的轮廓,这是20世纪自然科学最重大成就之一。
早在1943年,著名物理学家薛定谔在都柏林所作的题为“生命是什么?”这一产生深远影响的演讲中,首次提出了以非周期晶体作为遗传密码的大胆设想。次年阿弗利(O. Avery)发现了细菌转化现象,第一次直接证实了人们寻觅已久的控制生物遗传的物质基因,不是别的,正是脱氧核糖核酸(DNA)。即细胞核内DNA是遗传的物质基础,遗传信息就蕴藏在DNA的分子结构里。
引力和热力显然是两种互为逆的力,热力导致系统的熵增加,引力导致系统熵减少(其实是导致负熵增加),它们之间还有一种熵既不增加也不减少的系统;我们称之为第三类永动机。第三类永动机不属于开放系统,如果与外界没有交流,就将一直持续振荡下去。第三类永动机是一种量子效应,包括所有稳定的粒子,例如电子、质子等,还包括稳定的原子核、稳定的原子,超导和超流等;它们都属于一种谐振的封闭系统。或许你也可以称之为非耗散系统。另一方面,Maxwell妖精也会导致正熵(热力学熵)和负熵(信息熵)正好相互抵消,按照动态重正化方案,似乎第三类永动机可以容纳Maxwell妖精。
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代代相传——信息与生命
1953年,沃森(J.D.Watson)和克里克(F.H.C.Crick) 确立了DNA分子的双螺旋结构,揭示了遗传信息及其复制规律(见图9.6)。这一发现构成了分子生物学的重大突破。DNA的基本结构单位是脱氧核苷酸。脱氧核苷酸含有碱基、磷酸和脱氧核糖,其中碱基有四种:腺嘌呤(A)、鸟嘌呤(G)、胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T),DNA双螺旋结构主要由两条互补的多聚脱糖核苷酸链由氢键的作用配对在一起。碱基的配对是固定的:A—T相配,G—C相配(见图9.6),DNA的碱基的序列就构成了遗传信息,它的不同排列就反映了各种生物遗传性的千差万别。历史上的物种,最高估计为40亿种,其信息量不过为31.9(bit)。
而DNA结构中存在有A、T、G、C四种碱基构成序列。如果在这四种中任选两种来排列,就有AT,AC,AG;TA,TC,TG,GA,GT,GC,CA,CT,CG,AA,TT,GG,CC共4平方=16种不同的排列;任选三种,则有4立方=64 种排列顺序。如果一条多核苷酸链上有100个碱基,那么则对应有4的100次种不同排列顺序,这个数目不仅远远超过历史上所有物种的总数目,而且也超过了太阳系中原子的总数。现在已经知道一个基因是DNA分子链上的一个区段,其平均尺寸包含约1000个碱基,对应地可能有4的1000次方种不同的排列顺序,相当于2000比特的信息量,如此巨大的信息量足以说明DNA结构有充分的多样性,用来说明物种的千差万别。
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只看该作者 66楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
代代相传——信息与生命
图9.7给出了一种噬菌体的碱基序列(这是人类从生物体中获得的第一张完整的基因组图谱),已经是洋洋大观了;而记录一个大肠杆菌的碱基序列,需用一本超过千页的大书;至于一个人体细胞的碱基序列,则约需百万页的篇幅,这相当于一个图书馆的容量。取得人的全套基因组图谱,科学意义十分重大,但工作之艰巨,亦令人望而生畏。在著名分子生物学家沃森倡导之下,一项于1991年开始的国际合作研究计划,投资高达数10亿美元,原先预期在15年内完成,现已顺利地提前完成了。这项计划的实现必将对生命科学和人类生活产生至为深远的影响。有科学家将这一计划的完成对生命科学的意义与19世纪门捷列夫编制出化学元素周期表对化学的意义相提并论。这一比拟是否正确,尚有待于未来的科学史家来回答了。
生物特征的遗传,在分子水平上就是通过DNA复制来实现的,就是DNA  链松解开来,每一条链再与一条新链按碱基配对关系连接,结果相当于原来的双链衍生为两条等同的双链。而碱基的顺序与原来的全同,实现了遗传信息的复制,见图9.8。这一过程说明了严格的有序在生物中是多么重要。而且复制信息的能量消耗是非常低的,据估计复制一个比特的信息,其消耗能量仅为100kT的量级,仅为当代最先进的微电子元件的百万分之一。
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只看该作者 67楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
代代相传——信息与生命
换句话说,这些遗传信息决定着氨基酸的排列顺序,进而决定着蛋白质的化学结构和生物功能,即4种核苷酸排列的DNA双链与20种氨基酸排的蛋白质大分子链对应。这就出现一个问题,正像点和划两种信号的莫斯电码,要与26个拉丁字母及空白间隔相应,与众多的文字相对应一样,有一个编码和译码的问题。显然,一个碱基不足以决定一种氨基酸;两个碱基也不够,因为它只有4平方=16种排列组合方式;三个碱基则有可能。因此,在20世纪50年代,伽莫夫(G. Gamov)用信息方预测20种氨基酸取决于核苷酸三联密码,即三种碱基组成一个遗传密码,决定一种氨基酸。这样,由四种核苷酸组成的三联体变异度可达6(bit),还有一定的多余度。这些推测相继得到实验证实,20世纪60年代,三联密码逐一被破译。
遗传密码的全部确定,为遗传信息的传递铺平了道路。一般来说,遗传信息的传递通过两步来实现,第一步为转录,将DNA上的核苷酸排列顺序准确地抄写在信使RNA 上;第二步叫翻译,将信使RNA上的核苷酸语言翻译成蛋白质的氨基酸语言。翻译在细胞质中的核糖核蛋白体上进行,这时有一种转移RNA充当译员。它能够识别信使RNA 上的密码。根据密码的要求,将各种氨基酸在核糖核蛋白体上装配成蛋白质。于是就完成了遗传信息的传递。
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只看该作者 68楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
代代相传——信息与生命
这里简要介绍的遗传信息、遗传密码、蛋白质的合成只是生命的庞大秘密中的一斑一点。实际上,生物的这些活动过程是错综复杂的,许多细节还不清楚,还有更多的生命现象使人们迷惑不解,应该说,我们对于遗传信息的理解还是初步的,相当于小孩子咿哑学语的阶段,彻底回答生命之谜的日子还很遥远。唯一可以肯定的是,生命物质的特殊结构和特殊运动形式,使生命具有高度的稳定性,又有无限的可变性,核酸和蛋白质之间的相互依存、相互制约形成生物的自动控制体系,进行着生命的主要特征——新陈代谢活动。同时生物在长期的生存斗争中不断地适应自然、改造自然,不断地演变和进化。
回到我们的物理讨论上来,我们知道生命过程中熵往往是减少的,体现在遗传上更是如此,在遗传编码复制蛋白质分子的过程中,熵大大地减少了,这很容易理解。在这个过程中当然没有发现任何作功的迹象。同样,在非生命系统中也往往有类似的情况。在引进信息概念后,这一令人不解的现象“豁然开朗”,信息与负熵等当,负熵的增加补偿了信息的遗失。
使人感兴趣的是,生物学的程序常常出现在几率甚低的物理状态,这种物理状态是被一些和麦克斯韦妖相似的酶所建立并且保持的,像麦克斯韦妖维持温差和压力一样,酶维持着系统中的化学差别。又如人体肾的功能在于排泄废物并调节失去的水分和血液中的电解质,以保持血液流量和成分的相对稳定。这相当于根据信息来筛选不同的离子。这一过程也显示出麦克斯韦妖的踪迹:生气勃勃、尺寸微小且具备智能。这一妖精不仅在物理世界里大显神通,在生物世界中更是如鱼得水,得心应手。
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只看该作者 69楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
谁执牛耳?——能熵之争
1938年,埃姆顿以一则短评“冬季为什么要生火(见第二章)给“能与熵何者更为重要?”添注了新意。后来,索末菲(A.Sommerfeld)重提这一话题,在他1952年出版的遗著《理论物理教程》第五卷“热力学与统计力学”中,有一节赫然题为“能与熵地位高下之争”。正文中,未加评论地引用了埃姆顿的短评,显然是支持埃姆顿的观点,将传统的看法(即以能是宇宙的主宰,而熵是其影子)颠倒过来,地位倒置,熵相当于企业的经理,而能则降为薄记员的地位。其根据无非是熵(而非能)指挥了自然过程演变的方向,换言之,熵决定了时间之矢。
值得注意的是,索末菲在例题中进一步考虑了埃姆顿所忽略的内能之附加常数项,导出了内能密度并不守恒,而是随升温而略微减小的结果,明白无误地得出熵比能地位更高这一令人注目的结论。1961年,久保亮五的《热力学与统计力学》一书,再次引用了埃姆顿的全文,以示支持。
应该说,埃姆顿以及索末菲等人虽已经认识到熵之重要性,但他们的理解还是不完全的。在熵概念日益拓展,其内涵进一步深化的今天,联系到这里所谈的负熵(信息),有理由相信,埃姆顿的结论已愈来愈为人们所理解、赞同,负熵的获得似比获取能量来得重要。薛定谔的名言,生命“赖负熵为生”也似乎越来越为人们所首肯。
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只看该作者 70楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
谁执牛耳?——能熵之争
从另外一个角度来看,能与熵的地位高低之争已经超出了纯科学的范畴,而应取决于社会的实践。对于这一问题。答案并不是一成不变的,时代的思想必然要被反映出来,在人类历史的不同时期可能有不同的答案。

以热机发展为主导的第一次工业革命,关键的问题是为用机器将人从繁重的体力劳动中解放出来,能显然处于更为重要的地位,说这场工业革命是能的革命并不过分。而当今人类社会正好进入了以信息技术为主导的第二次工业革命,关键问题在于充分发挥信息技术的功能,对各式各样的过程进行计算、控制和操纵,从而取代人的非创造性的脑力劳动,正如维纳所说的那样:“17世纪和18世纪是钟表的时代,18世纪末叶和19世纪是蒸汽机的时代,现在是通讯和控制的时代。”
另外,以基因工程为代表的生物技术的革命也正在人烟会生活中扮演愈来愈重要的角色。这样,熵(或更确切地说负熵)的重要性被凸现出来,可以毫不夸张地说,当代的工业革命是一场熵(或负熵)的革命。那么,从社会实践角度看,说在当今的世界中,熵比能更加重要,也顺理成章,容易为大家所接受了。
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只看该作者 71楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
尚未了结——当代视野中的熵
从克劳修斯首次引入熵的概念到现在已有150年,玻耳兹曼提出熵的统计解释也有130多年了,熵已经在自然科学的广泛领域中留下了深深的印记,并已写入了普通物理的教科书之中。但熵的问题还尚未了结,人们还在从不同的角度来研究、讨论,甚至于争辩有关它的一些问题。
牛顿对于物理学的贡献之大是无与伦比的。他在1687年出版的杰作《自然哲学的数学原理》一举奠定了经典力学的基础。他的科学遗产沿用至今,不论在理论上或技术上都是硕果累累。1972年玻耳兹曼在牛顿动力学的基础上导出了玻耳兹曼方程来处理非平衡态中的演化问题;然后提出了提出熵的统计解释,首次用熵来标志时间之矢。在他的理论中采用了两个层次的描述:在微观层次上,采用了牛顿的动力攀理论,这一理论本身是可逆的,依循了时间反演对称性;而在宏观层次上,由玻耳兹曼方程所描述的演化过程,则具有不可逆性,破坏了时间反演对称性。可逆的牛顿的动力学理论与不可逆的非平衡态玻耳兹曼动力学理论之间确实存在矛盾,一直受到科学家的关注,有时甚至于非难。有关的问题我们曾经在第五章中作了初步的讨论,但不能说问题已经讲清楚了。到了20世纪,这一问题仍为学术界所关注,引发了许多数学家和物理学家的研究工作。根据这些工作的成果。目前学术界大体上得到了共识:玻耳兹曼所走的科学道路基本被肯定,牛顿的动力学和玻耳兹曼的统计力学确实可以协调起来,从而为更加全面地发展非平衡态统计力学奠定基础。虽则尚存留不少细节问题,有待于推敲。本章所述侧重于概括20世纪中所获得新进展。
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从真实到虚构——相空间、系综和吉布斯熵
本章首先简单介绍系综理论在平衡态和非平衡态问题中的应用;进而讨论现代动力学系统理论所带来的新的洞见,以及为奠定非平衡态统计力学基础的一些物理成果;最后简述一下涉及物理学规律时间反演对称性的有关问题。吉布斯在其1902年问世的杰作《统计力学的基本理论》一书中进一步发展了统计热力学,全面论述了他提出的统计系综理论,协调处理了动力学与统计力学的关系,从而成为统计热力学最普遍化、同时又是最便于推广应用的理论框架。堪称为平衡态统计力学的登峰造极之作。

事情的缘起要追溯到19世纪中叶,一位才华横溢的爱尔兰数学家哈密顿(W.R. Hamilton) 对于牛顿动力学进行了重新表述:其特点在于处理自由度为N的系统,将动量坐标p1…,pN和位置坐标q1,…,qN,一视同仁,平起平坐。将系统的总能量表示成哈密顿函数H,引进一组一阶偏微分方程,即哈密顿方程,取代牛顿的运动方程描述具有N个自由度的系统。哈密顿方程呈对称形式,相互作用力隐而不彰,显得精致而微妙,但物理本质和牛顿运动方程并无差异。19世纪末著名数学家克莱恩(F. Klein)对哈密顿理论给予很高评价,但对其实用价值深表怀疑,他说:“这套理论对于物理学家是难望有用的,而对工程师则根本无用。”似乎认为是漂亮而无用的理论。但科学发展的事实否定了这一武断的预言。

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从真实到虚构——相空间、系综和吉布斯熵
量子力学创始人薛定谔曾说:“哈密顿理论已经成为现代物理的基石。”事实上,统计物理和量子力学都依靠它,可以说哈密顿理论既漂亮又有用。一旦人们知道了正确的量子方程仅仅是将经典方程写成哈密顿的形式,那么取得进展将是非常容易的。处理量子理论中的任何一个小的困惑,所需要做的仅仅是建立起等价的经典方程,并将它们变成哈密顿形式,问题就解决了。我们知道,薛定谔方程可以作为路径积分的传播子使用;另一方面,动态重正化建立了串行-并发量子化之间的对偶性。我们认为,某些方面并发量子化比路径积分更加符合实验事实;首先,以中子为例,假如中子在这一时刻没有衰变,那么在下一时刻衰变的几率仍然是一样的,这就是动态重正化的妙用;另一方面,Ginzburg-Landau的宏观波函数同样满足“伪”薛定谔方程,现在的量子力学认为宏观波函数其实与微观波函数没有关系,但实际上,通过动态重正化,我们知道,宏观与微观波函数之间可以是并发-串行的对偶关系。
[attachment=NA]
图5.10 相空间。相空间的单独点Q 表明某一个物理系统的整个态,包括其所有部分的瞬态运动。
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从真实到虚构——相空间、系综和吉布斯熵
吉布斯对玻尔兹曼的统计力学进行了重新表述,正是用哈密顿方程来取代牛顿的运动方程,进而还用虚构出来的相空间来取代现实世界的三维空间。对于n个不受约束的粒子,每粒子具有3个位置坐标和3个动量坐标,因而其相空间维数为6n。我们生活在三维空间之中,要想像单一粒子的6维空间尚且不易,更何况n~1023的6n维空间呢!但是实际上我们无需具体设想这类高维空间的实际情况,模模糊糊当它类似于三维空间就行了(参看图10.2(a),示意了相空间中的一点。这一点Q代表几个粒子某一瞬间的所有位置坐标和动量坐标)。但事实上相空间的一个任意点其各个坐标都是起伏不定的。
[attachment=NA]
图5.12 相空间中的一个区域对应于所有粒子位置和动量的可能值的一个范围。这样的区域可代表某仪器一个可区别态(亦即“选择”)。
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只看该作者 75楼 发表于: 2012-08-16  粉丝: 4   好友:3
从真实到虚构——相空间、系综和吉布斯熵
而且科学家用实验仪器去探测也不是具体的一个点,而是在一定的时间内的平均值。为此吉布斯引入了系综的概念,它对应于相空间中大量点的集合,即一个区域;将相空间中的一点延拓成一个区域,就对应于系综。实际上仪器所测出的物理量相当于对系综求平均值。从此以后相空间与系综这两个现实世界中虚构出来的概念在统计物理学中扮演了重要的角色。
动态重正化显然可以破解“该死的量子跳变”之谜,U过程和R过程是一种假的串行-并发对偶性关系,因为测量显然是一种“事后诸葛亮”式的并发过程,所以你不能将这两种过程等同起来。另一方面,宏观波函数和微观波函数是超流和超导系统中实际发生的过程,应该将它们等同起来。你看,该等同的地方没有等同,不该等同的地方却硬将其等同起来,量子力学的毛病正是出在这里。
设想有N个自由度的动力学系统,要描述这一系统的状态,需要N个位置坐标(q1,…,qN)N个动量坐标(p1…,pN),即系统的状态x2N维的相空间中的一点。如果系统是孤立的,则系统的总能量E为一常数,x点就应躺在H(x)=E的等能量超面(2N-1上。系统按照动力学规律的演变过程,就对应于x点在Γ面上运动。吉布斯不仅着眼于系统的一个具体状态,而且要考虑系统所有可能的状态,这就构成一个系综。因而考虑分布在Γ面上密度为ρ(x),如果ρ(x)为常数,这就是微正则系综。
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从真实到虚构——相空间、系综和吉布斯熵
吉布斯系综理论事实上是玻尔兹曼工作的延续,但推广到容许有相互作用的粒子系统,因而具有更高的普遍性。它用相空间中的密度函数ρ(x)来取代玻尔兹曼使用过的速度分布函数f。显然ρ具有更加丰富的物理内容,它不仅包括了速度的分布情况,还蕴含了不少其他的信息,如相隔一定距离两个粒子相遇的几率。进一步就要考虑相空间中密度函数的演变过程。

按照保守系统的经典动力学,这相当于不可压缩的流体的流动。起初,密度ρ可以任意地分布在等能面Γ上,到达平衡后,ρ将不再随时间而变动,保持恒定值。在微正则系综中,Γ面上的密度是均匀的。利用系综理论可以计算出一系列的热力学量及其涨落。系综的吉布斯熵定义为S=-k∫ρ(x)logρ(x)dx。由于ρ(x)为常数,而log[1/ρ(x)]=logW,W为系统的微观状态数。

所以上式就等于S=klogW,与玻尔兹曼关系式吻合。系综理论也可以推广应用于封闭系统和开放系统,对应的系综被称为正则系综和巨正则系综。系综理论在处理平衡态的统计力学问题上取得了无比的成功,但将它推广到非平衡态就遇到困难,迄今尚未得到一致的看法。
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“微观”和“宏观”
描述少量粒子的运动规律和相互作用的科学,可以统称为“力学”。这包括经典力学、量子力学等等。少量粒子组成的系统,可以叫做力学系统,例如原子、分子或少量分子以及少量天体(只要把一颗星看成一个整体来考虑其运动)的集团等。描述力学系统,即使方程复杂一些,原则上也可以使用电子计算机求出与实验符合得很好的结果。
对于宏观系统即由大量客体组成的系统,力学是无能为力的。即使知道了宏观系统的精确组成和全部微观的相互作用,也无法写出全部力学方程和这些方程的初始条件,更谈不上求解这些方程和由此计算宏观系统的物理性质。对于宏观系统,另有一套行之有效的描述方法。这就是使用温度、体积、压力、能量、熵等等“宏观变量”,以及比热、压缩率、磁化率等等“物质参数”进行的热力学描述。
这种描述的基础是能量守恒、热量不可能自动从低温物体向高温物体等很少几条来自实践经验的基本规律。热力学的成功已被工业革命以来整个生产技术的突飞猛进所证明。热力学早就成为许多技术科学的理论基础。力学和热力学是针对着微观和宏观这两个极端情形发展起来的。然而,它们是相反而相成的科学。
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统计物理的妙用
使“相反”的力学和热力学达到“相成”的基本事实,就是宏观系统由极其大量的微观粒子组成。热力学描述是对大量微观的、力学的运动“平均”的结果。我们就从相互作用和热运动的彼此制约来看看是怎样实现这种平均的。当然不可能在这里推导统计物理的各种公式,然而那基本精神——任何一门科学的基本精神都是很简单精练的——却不难介绍清楚。
热运动的能量比例于绝对温度T。为了使T具有能量的量纲,应当乘上一个量纲是“尔格/度”的常数。这就是玻尔兹曼常数k,以后就使用kT来标志热运动的强弱。由于热运动是杂乱无章的,人们常常说kT是无序的原因。简单的单原子气体处于温度T时,每个原子的平均动能是3kT/2。这可以从一些更基本的假定,用“平均”求出来。每一个特定的微观状态有确定的能量,其中包括了相互作用能量。
1,2,……N是宏观状态可能对应的一切微观状态的编号。N是一个极其巨大的数,任何天文数字和它相比都可以略去不计。例如,取一克分子物质,其中就有NA个分子,NA是前面提到过的阿伏伽德罗常数。这些微观粒子的各种排列组合,能够组成多少微观状态N呢?一般说来,我们只知道它是略小于NA的阶乘的一个很大很大的数。
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统计物理的妙用
温度T一定时,能量为Ei的一个微观状态得以实现的概率(或叫几率)Pi,比例于著名的玻尔兹曼因子,exp(–Ei/kT),它表明,能量远远大于kT的状态实现的概率很小,而能量等于或小于kT的状态都有一定的概率实现。似乎能量愈小,实现的概率愈大。实际上还有一个从单独的玻尔兹曼因子看不出来的重要因素:能量在Ei附近的状态数目有多少。一般说来,能量低的状态数目也少,能量高的状态数目要多得多。通常,状态数目比例于Enn是一个正数,例如n=1/2
换成能量的语言说,能量为E的状态的概率大致是P(E)En次方乘exp(–E/kT),这个概率分布在E=nkT处有一个极大值。只有T=0时,实现的才是能量最低的状态,也叫做基态。图1-3n=1/2的情形,图中画出了状态数目、玻尔兹曼因子和概率分布三条曲线。这三条线纵坐标的比例不同,使得在图形范围内最大值都是1,这样看起来醒目一些。


1-3 状态数目和概率分布