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数学难题

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lworld 发表于 2006-6-8 13:58:29 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
 
三等分角問題

  三等分角問題(trisection of an angle)是二千四百年前,古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一,即 用圓規與直尺把一任意角三等分。問題的難處在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規。這問題曾吸引著許多人去研究,但都無一成功。1837年凡齊爾( 1814-1848)運用代數方法證明了,這是一個尺規作圖的不可能問題。

  在研究「三等分角」的過程中發現了如蚌線、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。人們還發現,只要放棄「尺規作圖」的戒律,三等分角並不是一個很難的問題。古希臘數學家阿基米德(前287-前212)發現只要 在直尺上固定一點,問題就可解決了。現簡介其法如下:在直尺邊緣上添加一點P,命尺端為O。    設所要三等分的角是∠ACB,以C為圓心,OP為半徑作半圓交角邊於A,B;使O點在CA延線上移 動,P點在圓周上移動,當尺通過B時,聯OPB(見圖)。由於OP=PC=CB,所以∠COB=∠AC B/3。這裡使用的工具已不限於尺規,而且作圖方法也與公設不合。
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lworld 发表于 2006-6-8 13:59:16 | 显示全部楼层
 
倍立方體問題

  倍立方體問題(problem of duplication of a cube )是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一 。問題是指求作一立方體使其體積等於已知立方體體積的兩倍。本題難解的原因在於作圖工具上有所限制,古希臘人強調幾何作圖只能用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規。

  關於倍立方問題的起源,有兩個神話傳說。第一個是屬於古希臘著名數學家、天文學家、哲學家埃拉托塞尼(前276-前195)的。傳說由於古希臘提洛島(Delos ,愛琴海上小島)上瘟疫流行,人們向太陽神第力亞祈禱\ ,據說神要求把它殿前的祭壇的體積擴大一倍,而保持祭台的立方體形狀不變。因此,後人往往稱倍立方體問題為提洛問題(Delos' problem)。由於提洛島上的居民並沒有完成太陽神的「要求」,所以瘟疫也沒有消除。後來人 們去向哲學家柏拉圖求教,但他卻搪塞地回答「上帝大概不滿意你們很少研究幾何學吧!」另一個故事說克里特王米諾斯為兒子修墓,命令將原來設計的體積加倍,但仍保持立方的形狀。

  倍立方體問題的實質就是用尺規作圖的方法求作線段 3√2,許多數學家為解決這個著名問題而耗費了不少精力 ,但無一取得成功。法國數學家笛卡兒就是最早公開申明尺規不能作3√2線段的,1637年他提出一個問題:非立方有理數的方根一般不能簡化為有限次的開平立方運\算。至1837年法國數學家凡齊爾(1814-1848)首次運\用了代數的方法嚴格證明了這個問題是尺規作圖不可能的,至此這個才算獲得解決。但由於對它的研究,使人們發現了一些特殊的曲線,如圓錐曲線、蚌 線、蔓葉線等,促進了圓錐曲線理論的建立和發展。人們還發現,只要不受尺規作圖工具的約束,倍立方體的問題是可以解決的。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:59:29 | 显示全部楼层
 
化圓為方問題

  化圓為方問題(problem of quadrature  of circle)是二千四百多年前古希臘 人提出的三大幾何作圖問題之一,即求作一個正方形,使其面積等於已知圓的面積。其難度 在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規。最早研究這問題的是安納薩戈拉斯,他因「不敬神」的罪名被捕入獄,在獄中 潛心研究化圓為方問題,可惜他的結果失傳了。以後著名的研究者更有希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等人。

  尺規作圖問題曾吸引許多人研究,但無一 成功。化圓為方問題,實際上就是用直尺圓規作出線段π的問題。1882年法國數學家林 德曼(1852-1939)證明了π是超越數,同時證明了圓為方問題是尺規作圖不可能 的問題。因為十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位,則尺規可作的線段長必為代數數。而化圓為方問題相當於求作長為√π的線段,但√π並非代數數,故此尺規不可作。

  二千年間,儘管對化圓為方問題上的研究 沒有成功,但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐(公元前430)為解決此問題而提出的「窮竭法」,是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形(或正6邊形),然後每次 將邊數加倍,得內接8、16、32、…邊形,他相信「最後」的正多邊形必與圓周重合, 這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的,但卻提供了求圓面積的近似方法,成為阿基米德計算圓周率方法的先導,與中國劉徽的割圓術不謀\而合,對窮竭法等科學方法的建立產生 直接影響。

  其實,若不受尺規的限制,化圓為方問題並非難事,歐洲文藝復興時代的大師芬蘭數學家達芬奇(1452-1519)用已知圓為底,圓半徑的1/2為高的圓柱,在平面上滾動一周,所得的矩形,其面積恰為圓的面積,如圖,

所以所得矩形的面積=r/2.2πr=πr2 ,然後再將矩形化為等積的正方形即可。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:59:40 | 显示全部楼层
 
阿基米德群牛問題

  公元前3世紀下半葉古希臘科學家阿基米 德在論著《群牛問題》中記載了本問題。原文用詩句寫成,大意是:西西里島草原上有一大群牛,公牛和母牛各有4種顏色。設W、X、Y、Z分別表示白、黑、黃、花色的公牛數, w、x、y、z分別表示這白、黑、黃、花色的母牛數。要求有W=(1/2+1/3)X+Y,X=(1/4+1/5)Z+Y,Z=(1/6+1/7)W+Y,w=(1/3+ 1/4)(X+x),x=(1/4+1/5)(Z+z),z=(1/5+1/6)(Y+y),y=(1/6+1/7)(W+w),(W+X)為一個正方形(數),(Y+Z )為一個三角數(即m(m+1)/2,m為正數)。求各種顏色牛的數目。最後兩個條件中的正方形數有兩種解釋:一種是W+X=mn,(因為牛的身長與體寬不一樣,排成正方 形後兩個邊牛的數目不一樣)稱為「較簡問題」,求解後牛的總數近6萬億,另一種為W+X=n2(長與寬的數目相等),稱為「完全問題」。即使沒有最後兩個條件,群牛問題的最 小正數解也達幾百萬到上千萬。

  1880年阿姍托爾提供了一種解答,導 致二元二次方程t2-du2=1,因d的值達400多萬億,所以完全問題的最小解中牛的總數已超 過20多萬位的數。可見阿基米德當時未必解出過這個問題,而它的敘述與實際也不符。歷 史上對這問題的研究豐富了初等數論的內容。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:59:49 | 显示全部楼层
 
希爾伯特數學問題

        1900年德國數學家希爾伯特在巴黎第二屆國際數學家代表會上提出23個重要的數學問題,稱為希爾伯特數學問題﹝Hilbert's Mathematical Problems﹞。內容涉及現代數學大部份重要領域,目的是為新世紀的數學發展提供目標和預測成果,結果大大推動了20世紀數學的發展。該23個問題的簡介如下:
  

連續統假設。
算術公理體系的相容性。
只根據合同公理証明底面積相等、高相等的兩個四面體有相等的體積是不 可能的。即不能將這兩個等體積的四面體剖分為若干相同的小多面體。
直線作為兩點間最短距離的幾何結構的研究。
拓扑群成為李群的條件。
物理學各分支的公理化。
某些數的無理性與超越性。
素數問題。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等問題。
一般互反律的証明。
丟番圖方程可解性的判別。
一般代數數域的二次型論。
類域的構成問題。具體為阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到作意代數有理 域。
不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程。
証明某類完全函數系的有限性。
舒伯特計數演算的嚴格基礎。
代數曲線與曲面的拓扑研究。
正定形式的平方表示式。
由全等多面體構造空間。
正則變分問題的解是否一定解析。
一般邊值問題。
具有給定單值群的線性微分方程的存在性。
用自守函數將解析關係單值化。
發展變分學的方法。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:59:57 | 显示全部楼层
 
孫子問題

        孫子問題﹝Sun Zi’s problem﹞記載於中國古代約公元3世紀成書的《孫子算經》內面,是原書卷下第26題:“今有物不知其數,三三數之剩二;五五數之剩三;七七數之剩二,問物幾何?答曰:二十三”。用現代符號表示為N≡2﹝mod3﹞≡3﹝mod5﹞≡2﹝mod7﹞,其最小正數解是23。《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是:“凡三三數之剩一,則置七十;五五數之剩一,則置二十一;七七數之剩一,則置十五”。因此可設N=70×2+21×3+15×2–2×105=23。原題及其解法中的3、5、7後來叫“定母”,70、21、15叫“乘數”。但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法,直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法。70是5與7最小公倍的2倍,21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”,求出乘率,就可知乘數。《數書九章》給出求乘率的方法,稱之為“大衍求一術”。1874年清代數學家黃宗憲發現了求乘率簡法,使“求一術”廣泛流傳。在西方與《孫子算經》同類的算法最早見於1202年意大利數學家斐波那契的《算盤書》,同樣沒有証明。直到1801年,才有與秦九韶“求一術”同類的算法出現於高斯的《算術探究》中。1852年英國傳教士偉烈亞力最早將“大衍求一術”介紹到西方,使中國獨特之算法開始為歐洲人所知。現在一般數論中將滿足同餘式組數的存在及特性稱為“中國剩餘定理”或“孫子定理”。孫子問題的算法名稱很多,宋代周密稱為“鬼谷算”、“隔墻算”。宋代楊輝﹝1275﹞稱為“秦王暗點兵”、“剪管術”,明代程大位叫它“物不知總”、“韓信點兵”,並在《算法統宗》﹝1592﹞中將孫子算法編成歌訣:「三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七子團圓整半月,除百零五便得知。」譯成現代漢語便是:三個人共同走路,其中七十歲以上的老人可能性很小,五棵梅花樹總共有二十一枝,七個孩子當正月十五日時在家中團圓,把一百零五的某個倍數減去,就得到答案。按照這首歌訣,問題的解與上文一致:x=70×2+21×3+15×2–2×105=23。推動了該算法的普及。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:00:05 | 显示全部楼层
 
百雞問題

  本問題記載於中國古代約5-6世紀成書的《張邱建算經》中,是原書卷下第38題,也是全書的最後一題:「今有雞翁一,值錢伍;雞母一,值錢三;雞鶵三,值錢一。凡百錢買雞百隻,問雞翁、母、鶵各幾何? 答曰:雞翁四,值錢二十;雞母十八,值錢五十四;雞鶵七十八,值錢二十六。又答:雞翁八,值錢四十;雞母十一,值錢三十三,雞鶵八十一,值錢二十七。又答:雞翁十二,值錢六十;雞母四、值錢十二;雞鶵八十 四,值錢二十八。」該問題導致三元不定方程組,其重要之處在於開創「一問多答」的先例,這是過去中國古算書中所沒有的。

  原書沒有給出解法,只說如果少買7隻母雞,就可多買4隻公雞和3隻小雞。所以只要得出一組答案,就 可以推出其餘兩組答案。中國古算書的著名校勘者甄鸞和李淳風注釋該書時都沒給出解法,只有約6世紀的算 學家謝察微記述過一種不甚正確的解法。到了清代,研究百雞術的人漸多,1815年駱騰風使用大衍求一術 解決了百雞問題。1874年丁取忠創用一個簡易的算術解法。在此前後時曰醇(約1870)推廣了百雞問 題,作《百雞術衍》,從此百雞問題和百雞術才廣為人知。百雞問題還有多種表達形式,如百僧吃百饅,百錢 買百禽等。宋代楊輝算書內有類似問題,中古時近東各國也有相仿問題流傳。例如印度算書和阿拉伯學者艾布 卡米勒的著作內都有百錢買百禽的問題,且與《張邱建算經》的題目幾乎全同。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:00:11 | 显示全部楼层
 
蓮花問題

  蓮花問題是指:「一個高出水面1/4腕尺(一 種古時長度單位)的蓮(荷)花在距原地2腕尺處正好浸入水中,求蓮花的高度和水的深度。」本題亦稱荷花問題(problem of lotus flower)。原記載於 印度古代約公元600年的數學家婆什迦羅第一的著 作《阿耶波多曆書注釋》中。到12世紀,印度另一位著名數學家婆什迦羅第二在他的名著《麗羅娃提》中重新闡述了這一問題,只將高出水面的1/4尺改為1/2尺,並用歌謠的形式記載下來,使蓮花問題 成為幾何定理應用的典型問題之一。14世紀印度另一位數學家納拉亞訥也在著作中記述過類似的問題。

  其實在紀元前後成書的《九章算術》,是歷史上 最早記載這類問題的古算書。其中第九章題六敘述如下:「今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭 赴岸,適與岸齊。問水深、葭長各幾何?」故數學史家為這是中印古文化交流的結果。中國後來的古算書 也有很多類似的題目,如《張邱建算經》(5-6世紀)卷上十三題,《四元玉鑒》(1303)卷中之 六,《算法統宗》(1593)卷八等。其中《四元玉鑒》還是用歌謠體給出的題述。《九章算術》及後 世算書都給出了該題的解法,但中算的「葭生池中」題是勾股定理的應用題,而印度的蓮花問題則是圓內 相交弦性質的應用題。此外阿拉伯數學家阿爾卡西在《算術之尺》(1427)中給出類似的「矛立水中 」題目。16世紀英國算書中也有「蘆葦立於池中」的類似題目。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:00:20 | 显示全部楼层
 
斐波那契兔子的問題

        問題是指某人有一對兔子飼養在圍墻中,如果它們每個月生一對兔子,且新生的兔子在第二個月後也是每個月生一對兔子,問一年後圍墻中共有多少對兔子。該問題記載於公元前13世紀意大利數學家斐波那契的名著《算盤書》﹝1202﹞1228年的修訂本中,並在原書中對此作了分析:第一個月是最初的一對兔子生下一對兔子,圍墻內共有兩對兔子。第二個月仍是最初的一對兔子生下一對兔子,共有3對兔子。到第三個月除最初的兔子新生一對兔子外,第一個月生的兔子也開始生兔子,因此共有5對兔子。繼續推下去,第12個月時最終共有對377對兔子。書中還提出,每個月的兔子總數可由前兩個月的兔子數相加而得。

        據載首先是由19世紀法國數學家呂卡將級數{Un}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,... {Un+1=Un+Un-1}命名為斐波那契級數,它是一種特殊的線性遞歸數列,在數學的許多分支中有廣泛應用。1680年意大利──法國學者卡西尼發現該級數的重要關係式Un+1Un-1-Un2 = (-1)n。1730年法國數學家棣莫弗給出其通項表達式 ,19世紀初另一位法國數學家比內首先証明這一表達式,現在稱為之為比內公式。1963年美國還創刊《斐波那契季刊》來專門研究斐波那契數列。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:00:30 | 显示全部楼层
 
合理分配賭注問題

  合理分配賭注問題(problem of rational division  of stakes)被認為是概率論的科學起源,一 般表述為:一場賭博因故中斷,已知兩個賭者當時的賭分及贏得賭博所需點數,求賭金該如何分配。問題亦稱「點的問題」或「得分問題」。

  最早於1494年由意大利數學家帕喬利 提出,16世紀中期的卡爾達諾和塔爾塔利亞等人也討論過這類問題。17世紀中葉法國人梅雷向數學家帕斯卡重提這類問題,引起帕斯卡與另一數學家費馬在1654年7月至10 月間的通信討論,數學史上稱這些通信為最早的概率論文獻。

  他們研究的問題有:兩個賭徒各出32個 金幣,約定先贏三局為勝。如果其中甲贏了二局,乙贏了一局時中斷,賭金如何分配;如果 甲贏了二局,乙一局未贏或甲贏了一局,乙一局未贏時,賭金又如何分配。帕斯卡用純算術 的方法,費馬則用組合方法都得到正確解答。費馬區分了獨立概率事件和條件概率事件,還 討論了某一賭徒在第一次輪到他擲骰子時不擲讓出而應該得到的賭金比例,甚至應用了n重 伯努利試驗的思想。帕斯卡則進一步提出了三個賭徒間分配賭金的問題。1657年荷蘭科 學家惠更斯在此基礎上潛心鑽研,寫成了《論賭博中的計算》一書,第一次提出數學期望的 概念,成為概率論的較早論著。到1713年雅各布.伯努利的《猜度術》出版後,概率論 已成為數學科學的一個分支了。
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