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中外数学史

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lworld 发表于 2006-6-8 13:52:08 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
 
中國數學﹝Chinese Mathematics﹞

        中國是世界文明古國之一,地處亞洲東部,瀕太平洋西岸。數學在中國的發展源遠流長,成就輝煌。下面我們依歷史的發展,分段敘述。

先秦萌芽時期
             黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃,大約在公元前2000年,在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家──夏朝。其後有商、殷兩代﹝約1500 B.C -1027 B.C﹞、及周朝﹝1027 B.C -221 B.C﹞。歷史上又稱公元前八世紀至秦王朝的建立﹝221 B.C﹞為春秋戰國時期。

        據《易.系辭》記載:「上古結繩而治,後世聖人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十,及百、千、萬是專用的記數文字,共有13個獨立符號,記數用合文書寫,其中有十進位制的記數法,出現最大的數字為三萬。

        算籌是中國古代的計算工具,而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考,但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。

        用算籌記數,有縱、橫兩種方式:

          1    2     3      4      5    6     7    8    9

縱式                  
橫式                        
        表示一個多位數字時,採用十進位值制,各位值的數目從左到右排列,縱橫相間﹝法則是:一縱十橫,百立千僵,千、十相望,萬、百相當﹞,並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。

        籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代,中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

        在幾何學方面《史記.夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具,並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理﹝西方稱畢氏定理﹞的特例。戰國時期,齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範,包含了一些測量的內容,並涉及到一些幾何知識,例如角的概念。

        戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展,一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題,例如:「圓,一中同長也」、「平,同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題,強調抽象的數學思想,例如「至大無外謂之大一,至小無內謂之小一」、「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想,但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。

        此外,講述陰陽八卦,預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽,並反映出二進制的思想。

漢唐初創時期

        這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展,所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。

        秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化,數學方面的專書陸續出現。

        西漢末年﹝公元前一世紀﹞編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測太陽高、遠的陳子測日法,為後來重差術的先驅。此外,還有較複雜的開方問題和分數運算等。

        《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作,約成書於東漢初年﹝公元前一世紀﹞。全書採用問題集的形式編寫,共收集了246個問題及其解法,分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面,《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則,在世界數學史上都是最早的記載;書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說,它注重應用,注重理論聯系實際,形成了以籌算為中心的數學體系,對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯,並通過這些國家傳到歐洲,促進了世界數學的發展。

        魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一,對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》,不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導,且在論述過程中多有創新,更撰寫《海島算經》,應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術,為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。

        南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態,但數學的發展依然蓬勃。《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出「物不知數」問題,導致求解一次同餘組問題;《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。

        祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時期最具代表性,他們在《九章算術》劉徽注的基礎上,將傳統數學大大向前推進了一步,成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳,根據史料記載,他們在數學上主要有三項成就:(1)計算圓周率精確到小數點後第六位,得到3.1415926 <π< 3.1415927,並求得π的約率為22/7,密率為355/113;(2)得到祖 日桓定理﹝冪勢既同,則積不容異﹞並得到球體積公式;(3)發展了二次與三次方程的解法。

        隋朝大興土木,客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》,主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖的計算問題。

    唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館,設有算學博士和助教,由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》﹝包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》﹞,作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。

    此外,隋唐時期由於曆法需要,創立出二次內插法,為宋元時期的高次內插法奠定了基礎。而唐朝後期的計算技術有了進一步的改進和普及,出現很多種實用算術書,對於乘除算法力求簡捷。

宋元全盛時期
        唐朝亡後,五代十國仍是軍閥混戰的繼續,直到北宋王朝統一了中國,農業、手工業、商業迅速繁榮,科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀﹝宋、元兩代﹞,籌算數學達到極盛,是中國古代數學空前繁榮,碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作,列舉如下:賈憲的《黃帝九章算法細草》﹝11世紀中葉﹞,劉益的《議古根源》﹝12世紀中葉﹞,秦九韶的《數書九章》﹝1247﹞,李冶的《測圓海鏡》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞,楊輝的《詳解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《楊輝算法》﹝1274-1275﹞,朱世杰的《算學啟蒙》﹝1299﹞和《四元玉鑒》﹝1303﹞等等。

        宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學,甚至是當時世界數學的巔峰。其中主要的工作有:

高次方程數值解法;
天元術與四元術,即高次方程的立法與解法,是中國數學史上首次引入符號,並用符號運算來解決建立高次方程的問題;
大衍求一術,即一次同餘式組的解法,現在稱為中國剩餘定理;
招差術和垛積術,即高次內插法和高階等差級數求和。
        另外,其他成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖﹝幻方﹞的研究、小數﹝十進分數﹞具體的應用、珠算的出現等等。

        這一時期民間數學教育也有一定的發展,以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。

西學輸入時期
        這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面,當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等複雜的問題,不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末,西方初等數學開始傳入中國,使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後,近代高等數學開始傳入中國,中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末,中國的近代數學研究才真正開始。

        明代最大的成就是珠算的普及,出現了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統宗》﹝1592﹞問世,珠算理論已成系統,標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳,數學出現長期停滯。

        隋及唐初,印度數學和天文學知識曾傳入中國,但影響較細。到了十六世紀末,西方傳教士開始到中國活動,和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷﹝1607﹞,其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外,《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創,且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前,三角學只有零星的知識,而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》﹝2卷,1631﹞、《割圓八線表》﹝6卷﹞和羅雅谷的《測量全義》﹝10卷,1631﹞。在徐光啟主持編譯的《崇禎曆書》﹝137卷,1629-1633﹞中,介紹了有關圓椎曲線的數學知識。

        入清以後,會通中西數學的傑出代表是梅文鼎,他堅信中國傳統數學「必有精理」,對古代名著做了深入的研究,同時又能正確對待西方數學,使之在中國扎根,對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。

        清康熙帝愛好科學研究,他「御定」的《數理精蘊》﹝53卷,1723﹞,是一部比較全面的初等數學書,對當時的數學研究有一定影響。

        乾嘉年間形成一個以考據學為主的乾嘉學派,編成《四庫全書》,其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作,為保存瀕於湮沒的數學典籍做出重要貢獻。

        在研究傳統數學時,許多數學家還有發明創造,例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》﹝約1859﹞中得到三角自乘垛求和公式,現在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》46卷﹝1795-1810﹞,開數學史研究之先河。

        1840年鴉戰爭後,閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」,上海江南製造局內添設翻譯館,由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有:李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》後9卷﹝1857﹞,使中國有了完整的《幾何原本》中譯本;《代數學》13卷﹝1859﹞;《代微積拾級》18卷﹝1859﹞。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷,華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》25卷﹝1872﹞,《微積溯源》8卷﹝1874﹞,《決疑數學》10卷﹝1880﹞等。在這些譯著中,創造了許多數學名詞和術語,至今仍在應用。

        1898年建立京師大學堂,同文館併入。1905年廢除科舉,建立西方式學校教育,使用的課本也與西方其他各國相仿。

        近現代數學發展時期

        這一時期是從20世紀初至今的一段時間,常以1949年新中國成立為標誌劃分為兩個階段。

        中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀,1908年留美的鄭之蕃,1910年留美的胡明復和趙元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何魯,1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來﹝1915年轉留法﹞,1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家,為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位,成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國,各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系,1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系,1921年和1926年熊慶來分別在東南大學﹝今南京大學﹞和清華大學建立數學系,不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系,到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部,開始招收研究生,陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵﹝1927﹞、陳省身﹝1934﹞、華羅庚﹝1936﹞、許寶騄﹝1936﹞等人,他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的,例如英國的羅素﹝1920﹞,美國的伯克霍夫﹝1934﹞、奧斯古德﹝1934﹞、維納﹝1935﹞,法國的阿達馬﹝1936﹞等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開,共有33名代表出席。1936年〈中國數學會學報〉和《數學雜誌》相繼問世,這些標誌著中國現代數學研究的進一步發展。

        解放以前的數學研究集中在純數學領域,在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面,陳建功的三角級數論,熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作,另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果;在數論與代數方面,華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓扑學方面,蘇步青的微分幾何學,江澤涵的代數拓扑學,陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作:在概率論與數理統計方面,許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密証明。此外,李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究,他們在古算史料的注釋整理和考証分析方面做了許多奠基性的工作,使我國的民族文化遺產重放光彩。

        1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊﹝1952年改為《數學學報》﹞,1951年10月《中國數學雜誌》復刊﹝1953年改為《數學通報》﹞。1951年8月中國數學會召開建國後第一次國代表大會,討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。

        建國後的數學研究取得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆疊素數論》﹝1953﹞、蘇步青的《射影曲線概論》﹝1954﹞、陳建功的《直角函數級數的和》﹝1954﹞和李儼的《中算史論叢》5集﹝1954-1955﹞等專著,到1966年,共發表各種數學論文約2萬餘篇。除了在數論、代數、幾何、拓扑、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外,還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破,有許多論著達到世界先進水平,同時培養和成長起一大批優秀數學家。

        60年代後期,中國的數學研究基本停止,教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷,後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版,並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。

        1978年11月中國數學會召開第三次代表大會,標誌著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽,1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位,其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會,加入國際數學聯合會,吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鐘演講。近十幾年來數學研究碩果累累,發表論文專著的數量成倍增長,質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上,已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力,爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。
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lworld 发表于 2006-6-8 13:52:41 | 显示全部楼层
 
古代埃及數學(Ancient Egyptian Mathematics)

  非洲東北部的尼羅河流域,孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年間,這裡曾建立了一個統一的帝國。

  目前我們對古埃及數學的認識,主要源於兩份用僧侶文寫成的紙草書,其一是成書於公元前1850年左右的莫斯 科紙草書,另一份是約成書於公元前1650年的蘭德(Rhind )紙草書,又稱阿梅斯(Ahmes)紙草書。阿梅斯紙草書的內容相當豐富,講述了埃及的乘法和除法、單位分數的用法、試位法、求圓面積問題的解和數學在許多實際問題中的應用。

  古埃及人使用象形文字,其數字以十進位表示,但並非位值制,而分數還有一套專門的記法。由埃及數系建立起來的算術具有加法特徵,其乘、除法的計算也只是利用連續加倍的方法來完成。古埃及人將所有的分數都化成單位分數(分子為1的分數之和),在阿梅斯紙草書中,有很大一張分數表,把 狀分數表示成 單位分數之和,如:
   , ,…, ,等等。

  古埃及人已經能解決一些屬於一次方程和最簡單的二次方程的問題,還有一些關於等差數列、等比數列的初步知識。

  如果說巴比倫人發展了卓越的算術和代數學,那麼在另一方面,人們一般認為埃及人在幾何學方面要勝過巴比倫人。一種觀點認為,尼羅河水每年一次的定期泛濫,淹沒河流兩岸的谷地。大水過後,法老要重新分配土地,長 期積累起來的土地測量知識逐漸發展為幾何學。

  埃及人能夠計算簡單平面圖形的面積,計算出的圓周率為3.16049;他們還知道如何計算棱椎、圓椎、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在於方稜椎平頭截體體積的計算,他們給出的計算過程與現代的公式相符。

  至於在建造金字塔和神殿過程中,大量運\用數學知識的事實表明,埃及人已積累了許多實用知識,而有待於上升為系統的理論。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:52:55 | 显示全部楼层
 
古希臘數學(Ancient Greek mathematics)

  古代希臘從地理疆城上講,包括巴爾幹半島南部 、小亞細亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區。這裡長期以來由許多大小奴棣制城邦國組成,直到約公元前325年,亞歷山大大帝( Alexander the Great)征服了希臘和近東、埃及, 他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城(Alexandria )。亞歷山大大帝死後(323B.C.),他創建的帝國 分裂為三個獨立的王國,但仍聯合在古希臘文化的約束下,史稱希臘化國家。統治了埃及的托勒密一世( Ptolemy the First)大力提倡學術,多方網羅人才,在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖 書館,使這裡取代雅典,一躍而成為古代世界的學術文化中心,繁榮幾達千年之久!
  希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響,但是他們創立的數學與前人的數學相比較,卻有著本質的區別,其發展可分為雅典時期和亞歷山大時期兩個階段。

一、雅典時期(600B.C.-300B.C.)

  這一時期始於泰勒斯(Thales)為首的伊奧尼亞學派(Ionians),其貢獻在於開創了命題的證明,為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍後有畢達哥拉斯(Pythagoras)領導的學派,這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體,以「萬物皆數」作為信條,將數學理論從具體的事物中抽象出來,予數學以 特殊獨立的地位。
  公元前480年以後,雅典成為希臘的政治、文化 中心,各種學術思想在雅典爭奇鬥妍,演說和辯論時有所見,在這種氣氛下,數學開始從個別學派閉塞的圍牆裡跳出來,來到更廣闊的天地裡。
  埃利亞學派的芝諾(Zeno)提出四個著名的悖論(二分說、追龜說、飛箭靜止說、運\動場問題),迫使哲學家和數學家深入思考無窮的問題。智人學派提出幾何作圖的三大問題:化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在於從理論上去解決這些問題,是幾何學從實際應用向演繹體系靠攏的又一步。正因為三大問題不能用尺規解出,往往使研究者闖入未知的領域中,作出新的發現:圓錐曲線就是最典型的例子;「化圓為方」問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。
  哲學家柏拉圖(Plato)在雅典創辦著名的柏拉圖學園,培養了一大批數學家,成為早期畢氏學派和後來長期活躍的亞歷山大學派之間聯繫的紐帶。歐多克斯(Eudoxus)是該學園最著名的人物之一,他創立了同時適用於可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學生亞里士多德(Aristotle)是形式主義的奠基者,其邏輯思想為日後將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開闢了道路。

  二、亞歷山大時期(300B.C.-641A.D.)

  這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界 ,分為前後兩期。
  亞歷山大前期出現了希臘數學的黃金時期,代表人物是名垂千古的三大幾何學家:歐幾里得(Euclid )、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼烏斯( Appollonius)。
  歐幾里得總結古典希臘數學,用公理方法整理幾何學,寫成13卷《幾何原本》(Elements)。這部劃 時代歷史巨著的意義在於它樹立了用公理法建立起演繹數學體系的最早典範。
  阿基米德是古代最偉大的數學家、力學家和機械師。他將實驗的經驗研究方法和幾何學的演繹推理方法有機地結合起來,使力學科學化,既有定性分析,又有定量計算。阿基米德在純數學領域涉及的範圍也 很廣,其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體積的精密求積法,蘊含著微積分的思想。
  亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼(Eratosthenes)也是這一時期有名望的學者。阿波洛尼烏斯的《圓錐曲線論》(Conic Sections)把前輩所得到的圓錐曲線知識,予以嚴格的系統化,並做出新的貢獻,對17 世紀數學的發展有著巨大的影響。
  亞歷山大後期是在羅馬人統治下的時期,幸好希臘的文化傳統未被破壞,學者還可繼續研究,然而已沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的數學家有海倫(Heron)、托勒密(Plolemy)、丟番圖(Diophantus )和帕波斯(Pappus)。丟番圖的代數學在希臘數學中獨樹一幟;帕波斯的工作是前期學者研究成果的總結和補充。之後,希臘數學處於停滯狀態。
  公元415年,女數學家,新柏拉圖學派的領袖希 帕提婭(Hypatia)遭到基督徒的野蠻殺害。她的死標誌著希臘文明的衰弱,亞歷山大里亞大學有創造力的日子也隨之一去不復返了。
  公元529年,東羅馬帝國皇帝查士丁尼(Justinian )下令關閉雅典的學校,嚴禁研究和傳播數學,數學 發展再次受到致命的打擊。
  公元641年,阿拉伯人攻佔亞歷山大里亞城,圖 書館再度被焚(第一次是在公元前46年),希臘數學悠久燦爛的歷史,至此終結。
  總括而言,希臘數學的成就是輝煌的,它為人類創造了巨大的精神財富,不論從數量還是從質量來衡量,都是世界上首屈一指的。比希臘數學家取得具體成果更重要的是:希臘數學產生了數學精神。即數學證明的演繹推理方法。數學的抽象化以及自然界依數學方式設計的信念,為數學乃至科學的發展起了至關 重要的作用。而由這一精神所產生的理性、確定性、永恆的不可抗拒的規律性等一系列思想,則在人類文化發展史上佔據了重要的地位。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:53:30 | 显示全部楼层
 
美索不達米亞的數學(Mathematics in Mesopotamia)

  亞洲西部的底格里斯河與幼發拉底河之間的 兩河流域,古稱為「美索不達米亞」。公元前十九世紀,這裡建立了巴比倫王國,孕育了巴比倫文明。

  考古學家在十九世紀上半葉於美索不達米亞 挖掘出大約50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板。其中有近400塊被鑑定為載有數字表和一批數學問題的純數學書板,現在關於巴比倫的數學知識就源於分析這些原始文獻 。

算術

  古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家 ,其計算程序是借助乘法表、倒數表、平方表、立方表等數表來實現的。巴比倫人書寫數字的方法,更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制(60進制),希臘人、歐洲人直到16世紀 亦將這系統運\用於數學計算和天文學計算中,直至現在60進制仍被應用於角度、時間等記錄上。

代數

  巴比倫人有豐富的代數知識,許多泥書板中 載有一次和二次方程的問題,他們解二次方程的過程與今天的配方法、公式法一致。此外,他們還討論了某些三次方程和含多個未知量的線性方程組問題。

  在1900B.C.-1600B.C.年間的一塊泥板上(普林頓322號),記錄了一個數表,經研究發現其中有兩組數分別是邊長為整數的直角三角形斜 邊邊長和一個直角邊邊長,由此推出另一個直角邊邊長,亦即得出不定方程X2+Y2=Z2 的整數解。




「普林頓322」泥書板
  
  
  


「普林頓322」摹真圖



幾何

  巴比倫的幾何學與實際測量是有密切的聯系 。他們已有相似三角形之對應邊成比例的知識,會計算簡單平面圖形的面積和簡單立體體積。我們現在把圓周分為360等分,也應歸功於古代巴比倫人。巴比倫幾何學的主要特徵更在於它的 代數性質。例如,涉及平行於直角三角形一條邊的橫截線問題引出了二次方程;討論稜椎的平頭截體的體積時出現了三次方程。

  古巴比倫的數學成就在早期文明中達到了極 高的水平,但積累的知識僅僅是觀察和經驗的結果,還缺乏理論上的依據。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:54:41 | 显示全部楼层
 
印度數學(Hindu mathematics)

  印度是世界上文化發達最早的地區之一,印度數學的起源和其他古老民族的數學起源一樣,是在生產實際需要的基礎上產生的。但是,印度數學的發展也有一個特殊的因素,便是它的數學和曆法一樣,是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發展的。再加上 佛教的交流和貿易的往來,印度數學和近東,特別是中國的數學便在互相融合,互相促進中前進。另外,印度數學的發展始終與天文學有密切的關係,數學作品大多刊載於天文學著作中的某些篇章。

  《繩法經》屬於古代婆羅門教的經典,可能成書於公元前6 世紀,是在數學史上有意義的宗教作品,其中講到拉繩設計祭壇時所體現到的幾何法則,並廣泛地應用了勾股定理。

  此後約1000年之中,由於缺少可靠的史料,數學的發展所知甚少。

  公元5-12世紀是印度數學的迅速發展時期,其成就在世界數學史上佔有重要地位。在這個時期出現了一些著名的學者,如6 世紀的阿利耶波多(第一)( ryabhata),著有《阿利耶波多曆數書》;7世紀的婆羅摩笈多(Brahmagupta ),著有《婆羅摩笈多修訂體系》(Brahma-sphuta-sidd'h nta ),在這本天文學著作中,包括「算術講義」和「不定方程講義」等數學章節;9世紀摩訶毗羅(Mah vira );12世紀的婆什迦羅(第二)(Bh skara ),著有《天文系統極致》(Siddh nta  iromani ),有關數學的重要部份為《麗羅娃提》(Lil vati) )和《算法本源》(V jaganita)等等。

  在印度,整數的十進位值制記數法產生於6世紀以前,用9個數字和表示零的小圓圈,再借助於位值制便可寫出任何數字。他們由此建立了算術運\算,包括整數和分數的四則運\算法則;開平方和開立方的法則等。對於「零」,他們不單是把它看成「一無 所有」或空位,還把它當作一個數來參加運\算,這是印度算術的一大貢獻。

  印度人創造的這套數字和位值記數法在8世紀傳入伊斯蘭世界,被阿拉伯人採用並改進。13世紀初經斐波納契的《算盤書》流傳到歐洲,逐漸演變成今天廣為利用的1,2,3,4,…,等等,稱為印度-阿拉伯數碼。
 
     印度對代數學做過重大的貢獻。他們用符號進行代數運\算,並用縮寫文字表示未知數。他們承認負數和無理數,對負數的四則運\算法則有具體的描述,並意識到具有實解的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力,他們不滿足 於對一個不定方程只求任何一個有理解,而致力於求所有可能的整數解。印度人還計算過算術級數和幾何級數的和,解決過單利與複利、折扣以及合股之類的商業問題。

  印度人的幾何學是憑經驗的,他們不追求邏輯上嚴謹的證明,只注重發展實用的方法,一般與測量相聯系,側重於面積、體 積的計算。其貢獻遠遠比不上他們在算術和代數方面的貢獻大。在三角學方面,印度人用半弦(即正弦)代替了希臘人的全弦, 製作正弦表,還證明了一些簡單的三角恆等式等等。他們在三角學所做的研究是十分重要的。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:54:51 | 显示全部楼层
 
阿拉伯數學﹝Arabic mathematics

        從九世紀開始,數學發展的中心轉向拉伯和中亞細亞。
  

        自從公元七世紀初伊斯蘭教創立後,很快形成了強大的勢力,迅速擴展到阿拉伯半島以外的廣大地區,跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區內,阿拉伯文是通用的官方文字,這裏所敘述的阿拉伯數學,就是指用阿拉伯語研究的數學。
  

        從八世紀起,大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數學的翻譯時期,巴格達成為學術中心,建有科學宮、觀象臺、圖書館和一個學院。來自各地的學者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中,許多文獻被重新校訂、考證和增補,大量的古代數學遺產獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎上,迅速發展起來,直到15世紀還充滿活力。
  

        花拉子米﹝Al-khowarizmi﹞是阿拉伯初期最主要的數學家,他編寫了第一本用阿拉伯語在伊斯蘭世界介紹印度數字和記數法的著作。公元十二世紀後,印度數字、十進位值制記數法開始傳入歐洲,又經過幾百年的改革,這種數字成為我們今天使用的印度─阿拉伯數碼。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》﹝《代數學》﹞系統地討論了一元二次方程的解法,該種方程的求根公式便是在此書中第一次出現。現代“algebra”﹝代數學﹞一詞亦源於書名中出現的“al jabr”。
  

        三角學在阿拉伯數學中佔有重要地位,它的產生與發展和天文學有密切關係。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎上發展了三角學。他們引進了幾種新的三角量,揭示了它們的性質和關係,建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法,製造了許多較精密的三角函數表。其中著名的數學家有:阿爾‧巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜爾‧維法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿爾‧比魯尼﹝Al-Beruni﹞等。系統而完整地論述三角學的著作是由十三世紀的學者納西爾丁﹝Nasir ed-din﹞完成的,該著作使三角學脫離天文學而成為數學的獨立分支,對三角學在歐洲的發展有很大的影響。
  

        在近似計算方面,十五世紀的阿爾‧卡西﹝Al-kashi﹞在他的《圓周論》中,敘述了圓周率π的計算方法,並得到精確到小數點後16位的圓周率,從而打破祖沖之保持了一千年的記錄。此外,阿爾‧卡西在小數方面做過重要工作,亦是我們所知道的以「帕斯卡三角形」形式處理二項式定理的第一位阿拉伯學者。
  

        阿拉伯幾何學的成就低於代數和三角。希臘幾何學嚴密的邏輯論證沒有被阿拉伯人接受。
  

        總的來看,阿拉伯數學較缺少創造性,但當時世界上大多數地方正處於科學上的貧瘠時期,其成績相對顯得較大,值得讚美的是他們充當了世界上大量精神財富的保存者,在黑暗時代過去後,這些精神財富才傳回歐洲。歐洲人主要就是通過他們的譯著才了解古希臘和印度以及中國數學的成就。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:55:00 | 显示全部楼层
 
羅馬和歐洲中世紀的數學﹝Mathematics in Roma and medienal Europe﹞

        羅馬人活躍於歷史舞臺上的時期大約從公元前七世紀至公元五世紀。他們在軍事上和政治上曾取得極大成功,在文化方面也頗有建樹,但他們的數學卻很落後,只有一些粗淺\的算術和近似的幾何公式。著名的科學書籍有維特魯維尼斯的《建築十書》﹝公元前14年﹞。書中比較注重處理數學問題,使用了建築物的平面體和立視圖,可以看到畫法幾何的萌芽。此外,羅馬人對曆法改革也有一定的貢獻。
  

        從西羅馬帝國滅亡﹝公元476年﹞到11世紀稱為歐洲的黑暗時期。西歐文化處於低潮,基督教的絕對統治嚴重地破壞了科學發展。這一時期只出現少數幾位熱心學術的學者和教士:殉道的羅馬公民博埃齊﹝Boethius﹞,英國的教士學者比德﹝Bede﹞和阿爾克溫﹝Alcuin﹞,著名的法國學者、教士熱爾拜爾﹝Gerbert﹞──他後來成了教皇西爾維斯特二世﹝Pope Sylvester II﹞。
  

        十二世紀是數學史上的大翻譯時期,是知識傳播的世紀,由穆斯林保存下來的希臘科學和數學的經典著作,以及阿拉伯學者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文,並傳入西歐。當時主要的傳播地點是西班牙和西西里,著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫納的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的羅伯特﹝Robert﹞等等。
  

        意大利的斐波那契﹝Fibonacci﹞是中世紀最傑出的數學家。他早年到各地旅遊,經比較後確認印度─阿拉伯數碼及其記數法在實用上最為優越,回到家鄉後寫成《算盤書》﹝Liber abaci,1202﹞。這部書是講算術和初等代數的,雖說實質上是獨立的研究,但也表現出受花拉子米﹝Al-knowarizmi﹞和阿布‧卡密耳﹝Abu Kamil﹞的代數學的影響。這部書對印度─阿拉伯數碼的詳盡敘述和強列支持,是有助於將這些符號引進歐洲的。斐波那契的另兩部著作《實用幾何》﹝Practica geometriae,1220﹞和《象限儀書》﹝Liber quadratorum,1225﹞是專門討論幾何、三角學和不定分析,同樣是有獨創性的著作。
  

        十四世紀相對地是數學上的不毛之地,這一時期最大的數學家是法國的N‧奧雷斯姆﹝Oresme﹞,在他的著作中,首次使用分數指數,還提出用坐標表示點的位置和溫度的變化,出現了變量和函數的概念。他的工作影響到文藝復興後包括笛卡爾在內的學者。
  

        十二世紀後,歐洲各地出現了許多從原教會學校基礎上轉變而來的大學。十三世紀上半葉,巴黎、牛津、劍橋、帕多瓦和那不勒斯等地的一些大學裏,數學教育開始興起,這些大學成為後世數學發展的重要基地。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:55:09 | 显示全部楼层
 
文藝復興時期的數學﹝Mathematics in the Renaissance﹞

        十四至十六世紀在歐洲歷史上是從中世紀向近代過渡的時期,史稱文藝復興時期。中世紀束縛人們思想的宗教觀、神學和經院哲學逐步被摧毀,出現了復興古代科學和藝術的文化運\動。在自然科學方面,如哥倫布地理上的大發現、哥白尼的日心說、伽利略在數學物理上的創造發明等革命性事件相繼發生。
         這一時期,在數學中首先發展起來的是透視法。藝術家們把描述現實世界作為繪畫的目標,研究如何把三維的現實世界繪製在二維的畫布上。他們研究繪畫的數學理論,建立了早期的數學透視法思想,這些工作成為十八世紀射影幾何的起點。其中最著名的代表人物有:意大利的達‧芬奇﹝Leonardo da Vinci﹞、阿爾貝蒂﹝Leone Battista Alberti﹞、弗朗西斯卡﹝Piero della Francesca﹞、德國的丟勒﹝Albrecht Durer﹞等。
         文藝復興時期更出版了一批普及的算術書,內容多是用於商業、稅收測量等方面的實用算術。印度─阿拉伯數碼的使用使算術運\算日趨標準化。L‧帕奇歐里﹝Pacioli﹞的《算術、幾何及比例性質之摘要》﹝Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, 1494﹞是一本內容全面的數學書;J‧維德曼﹝Widman﹞的《商業速算法》﹝1489﹞中首次使用符號「+」和「-」表示加法和減法;A‧里澤﹝Riese﹞於1522年出版的算術書多次再版,有廣泛的影響;斯蒂文﹝Simon Stevin﹞的《論十進》﹝1585﹞系統闡述了十進分數的理論。

 
        代數學在文藝復興時期獲得了重要發展。最傑出的成果是意大利學者所建立的三、四次方程的解法。卡爾達諾在他的著作《大術》﹝Ars magna,1545﹞中發表了三次方程的求根公式,但這一公式的發現實應歸功於另一學者塔爾塔利亞﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡爾達諾的學生費拉里﹝Ferrari﹞發現,在《大術》中也有記載。稍後,邦貝利﹝Bombelli﹞在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形,並使用了虛數,還改進了當時流行的代數符號。
  

        符號代數學的最終確立是由16世紀最著名的法國數學家韋達﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基礎上,於1591年出版了名著《分析方法入門》﹝In artem analyticam isagoge﹞,對代數學加以系統的整理,並第一次自覺地使用字母來表示未知數和已知數,使代數學的形式更抽象,應用更廣泛。韋達在他的另一部著作《論方程的識別與訂正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中,改進了三、四次方程的解法,還對n = 2、3的情形,建立了方程根與系數之間的關係,現代稱之為韋達定理。
  

        在文藝復興時期,三角學也獲得了較大的發展。德國數學家雷格蒙塔努斯﹝Regiomontanus﹞的《論各種三角形》﹝De triangulis omnimodis﹞是歐洲第一部獨立於天文學的三角學著作。書中對平面三角和球面三角進行了系統的闡述,還有很精密的三角函數表。哥白尼的學生雷蒂庫斯﹝Georg Joachim Rhaeticus﹞在重新定義三角函數的基礎上,製作了更多精密的三角函數表。
  

        文藝復興時期在文學、繪畫、建築、天文學各領域都取得了巨大的成就。數學方面則主要是在中世紀大翻譯運\動的基礎上,吸收希臘和阿拉伯的數學成果,從而建立了數學與科學技術的密切聯系,為下兩個世紀數學的大發展作了準備。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:55:18 | 显示全部楼层
 
中美洲的數學(Mathematics in Central America)

  古代美洲文明是世界文明的重要組成部份。公元前1000年左右,中美洲興起了瑪雅文化,公元300-900年間是瑪雅文化的全盛時期,之後便漸漸衰弱。對這裡數學的了解,主要來自一些殘剩的瑪雅時代的石刻和幾種瑪雅文古抄本:德累斯頓抄本、馬德里抄本、巴黎抄本等。

  早在公元最初的幾個世紀裡,瑪雅人就創立了以地球圍繞太陽旋轉一週作為一年的「太陰曆」,比古代希臘、羅馬人的曆法還要精確。與此同時,瑪雅人創造了獨特的以20進位的位值制計數法。他們用三個符號「 」、「 」、「 」分別表示1、5和0,別的數字就由這三個符號組合,例如1-19各個數字表示如下:




到了20則進位。瑪雅人加減法的運\算比較簡單,與阿拉伯數碼的運\算相同。對於乘除法運\算,已發現的瑪雅文獻中還沒有見到有關的例子。

  瑪雅人對形的認識,只能從瑪雅古建築中體會到一些,這些古建築從外形看都很整齊規範。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 13:55:27 | 显示全部楼层
 
日本數學﹝Mathematics in Japan﹞

        人類從何時才開始定居於日本列島,至今仍無定論。公元四世紀中葉,日本建立了第一個統一的國家。在十世紀以前,日本主要吸收外來的文化。中國、朝鮮和印度的文化對日本都有很大的影響,十世紀以後,真正的日本文化才發展起來。日本數學的繁榮則更晚,是十七世紀以後的事。
          日本人把受西方數學影響以前,按自己的特點發展起來的數學叫和算,也算日本傳統數學。十七世紀後期至十九世紀中葉是和算的興盛時期。
          和算在中國古代數學的影響下發展起來。公元六世紀始,中國的曆法和數學就直接或間接地﹝通過朝鮮﹞傳入日本,日本政府亦多次派留學生到中國唐朝學習數學。到八世紀初,日本已仿照隋唐時期的數學教育制度設立算學博士並採用《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《綴術》等中國古算書作為教材,這是中國數學輸入日本的第一個時期。
          十三至十七世紀,是中國數學傳入日本的第二個時期,《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《算法統宗》等陸續傳入日本,對日本數學的發展有重要的影響。吉田光由的《塵劫記》﹝1627﹞使珠算術在日本迅速得到普及,其內容與《算法統宗》極為相似,只是其中許多例題是根據日本的實際情況編寫的。這時期還有幾本著作是專門介紹和解釋《算學啟蒙》的。
          十七世紀初,日本數學家開始寫出自己的著作,如毛利重能的《割算書》﹝1622﹞、今村知商的《豎亥錄》﹝1639﹞等。到十七世紀末期,通過關孝和等人的工作,逐漸形成了日本數學體系──和算。
          關孝和在日本被尊為「算聖」,十七世紀末到十八世紀初,以他為核心形成一個學派﹝關流﹞,這一學派的主要成就是「點 術」和「圓理」。「點 術」是把由中國傳入的天文術改為筆算,並改進了算式的記法,是和算特有的筆算代數學。「圓理」可看作是和算特有的數學分析。建部賢弘求得弧長的無窮級數表達式,又稱圓理公式。久留島義太推廣了圓理公式,發展了圓理的極數術﹝極值問題﹞,並在西方數學家之前發現了歐拉函數和行列式展開定理。關氏學派的第四代大師安島直圓深入到微積分領域,提出一種求弧長的方法;又將此法推廣,形成二重積分,求出了兩相交圓柱公共部份的體積。晚期的關氏學派數學家和田寧進一步改進了圓理,使計算弧長、面積、體積等問題更加簡化,他使用的方法和現在積分法的原理相近。

          除了關氏學派外,還有一些較小的學派。他們總結了和算中的各種幾何問題;深入研究了計算橢圓、球面等面積和體積的公式;探討了代數方程理論等等。
          十九世紀中葉,日本政府採取了開國政策,西方數學大量傳入。明治維新時期,日本政府實行「和算廢止,洋算專用」政策,和算迅速衰廢﹝只有珠算沿用至今﹞,同時開始了近代數學的研究。時至今日,日本已步入世界上數學研究先進國家的行列。
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