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[求助] 漫谈统一场论(三)

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henryharry2 发表于 2013-1-12 15:17:33 | 显示全部楼层

质量隙问题

 
2000年5月24日 ,在巴黎法兰西学院的演讲大厅,世界著名的英国数学家Michael Atiyah爵士和美国数学家John Tate宣布,对首先解决七个最困难的悬而未决的数学问题中任何一个的人或团体将授予100万美元的奖金。他们说,这些问题从此将被称为“千年难题”(Millennium Problems)。这700万美元的奖金——每个问题100万美元,解决在时间上没有限制——是由一位富有的美国业余数学爱好者Clay捐赠的。

第二道千年难题:杨-Mills理论和质量隙假设。数学发展的许多动力来自科学,特别是来自物理学。例如,由于物理学的需要,17世纪数学家牛顿(Isaac Newton)和莱布尼茨(Gottfried Leibniz)发明了微积分。今天,在过去大约半个世纪以来发展起来的物理学的某些理论中,存在着类似的情况。这第二道千年难题向数学家发出再次赶上物理学家的挑战。

杨-Mills方程来自于量子物理学。大约50年前,物理学家杨振宁和Robert Mills在描述引力之外所有的自然力时建立了这些方程。他们做了一项杰出的工作。来自这些方程的预测描述了在世界各地实验室中观察到的粒子。虽然从实践的角度说杨-Mills理论成功了,但它作为一个数学理论却还没有研究出来。在某种程度上,这第二道千年难题是要求从公理开始,被上这个理论的数学发展。这种数学将必须符合一些在实验室中已被观察到的情况。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-13 09:34:21 | 显示全部楼层

从超导电性到量子场论

 
南部系统地把量子动力学方法应用到BCS-Bogoliubov理论。他写下自能部分的方程,这对应于哈特里-福克近似,并且还得到一个非微扰解,其中规范相关的∆场最后证明就是能隙。他还写下顶点部分的方程,并发现如果把“辐射修正”包括在内,就与自能部分相关,因此建立了“Ward恒等式”和理论的规范不变性。他得出一个重要发现:顶点方程的精确解之一是具有零能量和动量的粒子对的束缚态,这个解即准粒子对的集体激发,正是它导致“Ward恒等式”。
在南部关于超导电性的自洽的物理绘景中,准粒子总是伴随着周围介质的极化(辐射修正),并且如果把两者结合起来就会导致电荷守恒和规范不变性。极化场的量子表明,量子自身是介质的集体激发,而介质由运动的准粒子构成。因此这些集体激发(束缚态)的存在表现为规范不变性的逻辑结果,是与规范相关的能隙的存在相匹配的。
   
南部在超导性方面的工作使他想到,有可能把非不变解的思想用在粒子物理学上(尤其在真空态上)。南部在1959年的基辅会议上第一次表述了这个重要观点。在场论的γ[sub]5[/sub]不变性问题和Bogoliubov表述的超导规范不变性问题之间存在一种类比。观测到的粒子的质量在这种类比中对应于超导态中的能隙。超导电性的这种巴丁-Bogoliubov描述,由于能隙的原因而不是规范不变的。但已有人成功地按规范不变的方法解释了巴丁-Bogoliubov理论。按照这种方法,人们也可以处理γ[sub]5[/sub]不变性。因此,例如,人们容易得出结论,认为在可能和π介子态是相同的赝标量态下,存在束缚核子-反核子对。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-13 09:46:15 | 显示全部楼层

从超导电性到量子场论

 
一年后,南部在1960年的美国中西部物理学会议上,用下面的对应表总结了这个类比:
超导电性基本粒子
自由电子 裸费米子(零质量或小质量)
声子相互作用 一些未知的相互作用
能隙 观测到的核子质量
集体激发介子(束缚核子对)
电荷 手征性
规范不变性 γ[sub]5[/sub]不变性(精确的或近似的)


在数学层面上,这种类比是完备的。在Bogoliubov-Valatin方程组和手征不变的Dirac理论中的方程组之间有严格的相似性。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-13 10:05:26 | 显示全部楼层

质量的起源

 
引力场量子化可以解决两个问题:1) 引力场为什么是普适的和 2) 引力场与热运动的统一,都可以推导出质量隙的起源。轴矢量场的真空与极矢量的真空是不同的,在庞加莱原理中的两个反方向飞行的光子:一个相当于正能态、另一个则相当于负能态。从Dirac的正、反粒子态变换到庞加莱原理定义的真空态,等于施行了一个Wick转动,转到四维Euclid空间。

先看引力场与热运动的统一,考虑将地狼星A和B加热,由于热运动、它们的质量肯定会增加,因此它们之间的引力也会增加,那么这多出的质量添加到吸收到哪个常数上呢?一种办法是吸收到地狼星A和B的相对运动上,按照质能关系式,运动增加时质量也增加。还是一种内禀的方法,由于热运动而增加的质量相当于地狼星A和B的每个粒子都增加了一个(轴矢量的)涡旋电流,所有粒子的涡旋电流通过Stokes定理合成为一个集体的电流。

这种办法与超弦理论和圈量子引力的想法有相同之处,超弦理论和圈量子引力都起源于Wilson和Polyakov的电流圈。不同之处在于Wilson和Polyakov的电流圈是二维的,而我们这里的轴矢量涡旋电流圈却是三维的,原因是引力比通常的规范场要多出一维。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-13 10:27:35 | 显示全部楼层

质量的起源

 
热运动可以通过类Stokes定理被吸收到天体的自旋里,对于地狼星A和B这种宏观天体来说,热运动的效应很小。但这种原理应该是普适的,也就是地狼星A和B的静止质量应该也是相对运动产生的,只是那要到核子一级的水平上才显现出来。在对引力场的第二种表述形式里,这种微观粒子与宏观天体之间的类Stokes定理表现得更加明显。

第二种表述形式包括对偶的两种方式。第一种方法是宏观的,可以认为地狼星A处于正能态、地狼星B处于负能态;仿照弦理论的命名方法,我们不仿称之为II A。第二种方法可以应用到微观,即认为地狼星A和B上的每一个粒子各自带一半正能态、一半负能态,我们称之为II B。从微观的角度来讲,IIA和IIB两类方法其实是对偶的,相当于s道-t道对偶。

假如每个粒子都是轴矢量的正、负能态配对而成,这个正、负能态的配对也等价于轴矢量的三维电流圈。我们知道,对于二维的电流圈而言,存在一个Stokes定理。同样,对于三维的电流圈而言,也存在一个类Stokes定理,于是我们可以将每个粒子的质量通过类Stokes定理全部吸收到地狼星A和B的整体质量上。这里,我们看到了质量的起源:质量起源于轴矢量的正、负能态之间的配对,这正是南部阳一郎标注的那个“未知的相互作用”项。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-14 11:20:04 | 显示全部楼层

对合自同构

 
杨-Mills场论与引力理论都是非线性场论,其中完全可积精确解的存在起重要作用,它们都有一些共同特点,例如,手征场模型与自对偶杨-Mills场,以及轴对称引力场(Ernst场方程),它们都是自耦合体系,均具有拓扑非平庸孤子解,这些孤子解常可用伪球面描写,并可利用Bäcklund变换得到新解。本节我们利用活动标架法来分析三维欧氏空间中伪球面(K=-1的常曲率面),并分析其Bäcklund变换,熟练地掌握它们有利于深入分析上述各完全可积物理问题。由方程的一个解得到另一个解的变换称为Bäcklund变换。方程的每个解对应于一曲面(伪球面),可称为孤子面。
Riemann对称空间常有一可传递等长群,即可将Riemann对称空间表示为陪集流形G/H,其中G为连通Lie群,H为其闭子群。Lie群G具有对合自同构σ,σ诱导G/H的对合自同构σ[sub]0[/sub]是使G/H在原点为孤立固定点的对称变换。齐性空间G/H允许存在具有下列性质的正则联络Γ:
1) Γ相对G不变,且σ不变;
2) 其挠率张量为零,T=0;
3) G/H上任意G不变张量场相对联络Γ为平行输运。例如曲率张量场R为平行输运,即满足▽R=0。正因为对称空间具有以上特点,通常可将对称空间定义为具有对合自同构的齐性空间,即由(G, H, σ)三要素组成。手征场模型、自对偶杨-Mills场、轴对称引力场等均存在完全可积精确解。这些完全可积物理体系常可表达为对称空间场,即为取值在对称空间(G, H, n)上的场论。这里n为对合自同构算子,n[sup]2[/sup]=1。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-16 15:38:04 | 显示全部楼层

质量的起源

 
我们找到的关于质量起源的答案很简单,由于质量是引力的源、也就是量子引力的基础,质量起源必须具有普适性和简单性,才能够构造普适的合理的量子引力理论,否则差之毫厘就会失之千里。Wilczek等人通过格点QCD使用蛮力可以计算出重子的质量,但这种方法作为质量起源的基础恐怕不合适,世界上没有多少人能够看懂QCD,更别说计算机棋盘QCD了。

引力质量和热运动都可以通过类Stokes定理吸收到自旋中,但这种自旋与极矢量的自旋不太一样,而是也带有同位旋的性质。当Maxwell-Boltzmann统计变成量子统计后,自由能F = μT – ST,这里μ代表内能引起的自旋,T是温度;这里温度起到了经典力学中“力臂”的作用。对于引力而言,力臂则是不固定的,随着地球和月亮之间的距离变化而变化。

有几个方面的实验证据。首先,相变中的标度律是普适的,因此气-液相变和铁磁相变之间不仅是Curie的类比关系,它们可能确实是同构的。类Stokes定理与Halperin的边缘激发有相似之处,Halperin用边缘激发解释了量子Hall效应。太阳色球层的反常升温则可以用μT = (Ħ/m)T来解释,由于宏观自旋比普朗克常数高几十个数量级,我们用大写Ħ表示,假如太阳大气层传递出自旋波,由于越往高处粒子密度越低,必须由温度T升高作为补偿。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-18 11:29:27 | 显示全部楼层

强相互作用的M-理论

 
对易关系能被理解为两个矢量的矢量叉乘的直接推广。事实上,意味着两个“基矢”的叉乘也是同一空间的一个矢量,因而是这些基矢的一个线性组合。这是在三维空间成立的基矢循环条件的推广关系。对于这种观点,阶为2的李代数是特别值得注意的,它包含两个矢量,它们的叉乘为0。因此,与在三维位形空间正常的矢量乘积的比较不能走得太远。对于SO(3)群的李代数这个例外,它不是一个同构,而仅仅是一个类比。

我们认为,在三维空间这个关系非常重要,因为利用循环x×y→z、y×z→x、z×x→y,我们可以定义螺旋群SH(3)。左手和右手(或向上和向下)螺旋群与Pauli矩阵同构,与Pauli矩阵不同的是,这是一种磁的三维表示,相当于一种三维的Poynting矢量表示法。

将螺旋群应用于组分夸克模型,立刻可以看出为什么夸克的电荷数是1/3,仅此一点就足以证明螺旋群是强相互作用中不可或缺的组成部分。特别是,利用螺旋群可以构造出一种强相互作用中的M-理论。产生质量隙的轴矢量的正、反能态配对(即类Stokes定理)也是三维的。当Maxwell-Boltzmann统计变成量子统计后,重子看起来像一个牛顿摆,流夸克质量就会约化成组分夸克的质量项,牛顿摆看起来又像弦。可以看出,在强相互作用的统一理论中,组分夸克模型、弦模型和QCD模型是同一种理论的不同表现形式。
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-19 11:22:07 | 显示全部楼层

幂零Dirac方程

 
Some aspects of particle physics are more easily understood if we first express the Dirac equation in a more algebraic form than usual, with the gamma matrices replaced by equivalent operators from vector and quaternion algebra. Here, we define unit quaternion operators (1, a, b, c) according to the usual rules, and also multivariate 4-vector operators (i, x, y, z), which are isomorphic to complex quaternions or Pauli matrices.
The combination of these two sets of units produces a 32-part algebra (or group of order 64, taking into account both + and – signs), which can be directly related to that of the five γ matrices. If we now apply a free-particle solution, such as ψ = Aexp[-i(Et - p•r)], to this equation, we find that:
(zE + ixp + iym) Aexp[-i(Et - p•r)]=0,
where p is a multivariate vector. The equation is only valid when A is a multiple of (zE + ixp + iym). In principle, this means that A, and hence ψ, must be a nilpotent or square root of zero. Here, of course, we rely on the fact, that, for a multivariate p, the product pp becomes identical to the product of the scalar magnitudes pp = p[sup]2[/sup]. It is, additionally, identical to the product of the helicities (σ•p) (σ•p), indicating that the multivariate vector (or equivalent Pauli matrix) representation of p automatically incorporates the concept of spin.
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 楼主| henryharry2 发表于 2013-1-29 09:08:02 | 显示全部楼层

Weyl统一场论的回归

 
我们知道,Weyl最初提出的统一场论中所用的群是相似变换群,后来被换成了幺正规范群,Weyl最初的这个想法也被束之高阁很多年。但我们发现,统一场论的规范群其实是一种特殊的相似变换群,即中心对称变换群。为什么会这样呢?

还要从引力场的量子化谈起,当木星与木卫一(艾奥)相互作用时会互相感应,她们一个相当于正能态,一个相当于负能态,也就是说,她们之间关于共同的质心是中心对称的。但是这种想法是属于内禀空间的对称性,因为当你加进木卫二后、考虑三体问题时,假如不是内禀的对称性,则木卫二不可能是正能态、也不可能是负能态。大自然肯定不会像我们这样考虑这么多,我们为了能够描述自然,必须使用某些临时的符号来标记,也就是说,这种正能态和负能态的区别是人为规定的。
将Pauli对氢原子量子化的想法(动力学对称性)加进来,正能态与负能态的配对(对称化)后的群是SO(4)群。SO(4)群与SU(2)╳SU(2)群局部同构,相当于杨-Mills场的瞬子解。也就是说,正、负能态的配对只是瞬间存在,就好比是临时打开一扇门、马上又立刻关闭了。
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