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[资料] 规范场论2

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henryharry2 发表于 2012-9-4 09:14:46 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
 
电磁力和弱力都可以看作是味力(flavor force),这是因为电荷随味一起变化,而弱力则涉及到味的改变。在50和60年代,量子味动力学(quantum flavor dynamics)被提出来了,它将量子电动力学和一种弱力理论综合起来研究。格拉肖(Sheldon Glashow)、温柏格(Steven Weinberg)和萨拉姆(Abdus Salam)对量子味动力学作出了特殊贡献,他们利用这个理论成功地预言有一种新的味力存在,它使得电子中微子在中子或质子上发生简单散射(simples cattering):在这过程中味不发生变化。
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henryharry2 发表于 2012-9-4 09:15:48 | 显示全部楼层

对称性破缺

 
对称性是物理学中的一个基本概念。例如物理学中的基本方程是时间对称的,时间朝正向和反向发展都行。另外的对称性可理解为几何对称。一个旋转的球可在镜中反射出来,从球的顶部看下去,球是逆时针旋转的,在此情况下镜子中的像却是顺时针旋转的。真实的球及镜中的影像都以物理定律所允许的方式运动,这种意义下就称为对称。(当然如果时间反演,镜中的影子也会像真实的球那样运动。如果同时作空间反射及时间反演又回到没做操作的那样)将空间反射(称为宇称变换,因为它使左右交换)、时间反演,以及电荷取反分在一起形成了物理学很强大的内在性原则,那PCT理论,它是说物理定律应该在这三种操作下保持不变。PCT理论是以假设为基础的,一个粒子放射出粒子与这个粒子吸收反粒子是一样的。
可是其它的对称性用日常语言就难以说清楚了,需要有较完善的数字语言才能够描述。这些对称性对于理解粒子物理的前沿与最新进展至关重要。但是可以这样想象一个物理例子:一个平衡在楼梯台阶上的小球,如果我们将其从一个台阶移到另一台阶上,那么我们就改变了它在重力场中的势能。我们怎样移动小球并不重要,我们可以让它绕地球转动一周用火箭将其送至火星,然后再将它弄回来,然后放在新台阶上。决定重力势能改变的唯一因素就是两台阶的高度,即开始及结束时的位置。这也不依赖于我们从何处开始测量重力势能,我们可以从地下室开始给出每一层楼梯台阶的正势能,也可以从两个台阶中较低的那个开始,这种情况下,对应的位置势能为0,两个台阶之间的势能之差还是一样的。这种新对称性,由于我们在测量中重新标定了“基线”,称为“规范”对称性。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:16:38 | 显示全部楼层

对称性破缺

 
同样使用于电磁力。麦克斯韦的电磁学是规范不变的,因此QED(量子电动力学)是一种规范理论,QCD也一样,它的模型来自于QED,在量子水平上处理物质场时有些复杂,但所有这一切都可以由规范对称性理论给出满意的描述。但这是QED的一个关键性质,也是唯一的规范对称性质,因为光子的质量为0,如果光子有一点质量,那就不行。结果表明,作为重整化理论,我们一直与无穷大打交道。当物理学家们尝试用描述电磁场时很成功的规范理论为模型构造类似的弱核作用的理论时,这一点就成了问题。弱核理论对应于放射性衰变并从核中放射出β粒子的过程。
[attachment=NA]
图E.3 与交换一个玻色子不同,中子和中微子之间交图换两个W玻色子足以引起计算结果中出现无穷大
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:17:05 | 显示全部楼层

对称性破缺

 
正如电磁相互作用是由光子传递一样,弱相互作用也一定要由它自己的玻色子作媒介来传递。可是这种情况却有点复杂,因为为了在弱相互作用过程中传递电荷,弱玻色子(弱场中的“光子”)必须带有电荷。因此实际上应当至少有两种这样的粒子,记为正W和负W。因为弱作用并不总是包含电荷的传递,理论学家不得不引入第三类玻色子——电中性的Z玻色子来完备弱光子集合。开始时,存在这种粒子的要求愁坏了物理学家们,因为并无实验证据证实它们的存在。
与弱相互作用有关的正确的数学对称性及两个W粒子,电中性的Z玻色首次是由哈佛大学的希尔顿•格拉肖在1960年提出的,发表于1961年。他的理论并不完善,但是却提供了关于电磁相互作用和弱作用可以纳入同一种理论的可能性的看法。关键的问题是这个理论需要引入W粒子。与光子不同,这种粒子带有电荷而且还有质量,这一点不仅使重整理论难于应用,而且也破坏了与电磁相互作用的类比,在电磁作用中光子是没有质量的。它们必须具有质量,因为弱相互作用是短程作用——如果它们不具有质量,那么作用范围将是无穷的。质量本身倒不是什么大不了的问题,问题在于粒子存在的自旋。所有无质量的粒子如光子,量子规则仅允许其带有要么平行要么反平行于其运动方向的自旋。一个有质量的粒子,如W玻色子,可以具有垂直于其运动方向分量的自旋,这多出来的自旋态就可能引起问题。如果W粒子是没有质量的,弱电作用可以合并成一种可重整化的理论来解释二者。正是对称性“破缺”才产生了问题的。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:17:36 | 显示全部楼层

对称性破缺

 
数学对称性是如何破坏的?最好的例子来自于磁学,我们可以将一个由磁性材料做成的棒看作数目极多对应每个原子内部小磁子组成的。当加热时,这些小磁子可以沿各个方向转动,即随机地改变各自的方向,因此磁棒不存在总体磁场——不存在磁性的非对称。但是当将磁棒的温度降为特定温度(称为居里温度)以下时,会突然出现所有磁子都按指的同一方向,磁棒变为有磁性的了。在高温下,对应零磁性的状态是最可能的状态,在低温下,最低能态是所有的磁子都平行排列(它们指向哪个方向并不重要)。对称性破坏了,变化发生了,因为高温时原子的热运动可以克服磁力,而在低温下磁力却比原子的热扰动强。
在1960年的后期,伦敦帝国学院的阿杜斯•萨拉姆与哈佛大学的史蒂文•温伯格独立地提出了弱相互作用的模型,此模型来自于60年代早期格拉肖提出的,晚些时间又由萨拉姆独立地创建的数学对称性。在新理论中,对称性破缺需要一种新的场——黑格斯场与粒子联系起来,这类粒子也称为黑格斯粒子。电磁及弱相互作用合在一起与一种对称性规范场联系起来称为弱电作用,此场具有无质量的玻色子。后来到1971年由荷兰物理学家格瑞德•胡夫特的工作证明它是一种可以重整化的理论,这时人们才正视这个理论。Z粒子发现于1973年,这使弱电理论确立下来。弱电合作用仅仅在非常高的能量密度如黑洞中时才能“起作用”,在低能下它自发破缺产生带质量的W粒子及Z粒子,电磁作用与弱相互作用分道扬镳。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:18:09 | 显示全部楼层

对称性破缺

 
新理论的重要性可由这样的事实来肯定。当还没有直接的实验验证其正确性的时候,在1979年格拉肖、萨拉姆及温伯格共同获得了诺贝尔奖。早在1983年,在日内瓦的欧洲原子能中心(CERN)小组宣布实验上发现了在高能过程(由高能质子与反质子束碰撞产生)中产生的粒子质量约为80GeV和90GeV,这可由W和Z粒子做出最好的解释。这些与理论预言吻合完好。格拉肖-萨拉姆-温伯格理论是“好”理论,因为它给出了可被验证的预言,不像格拉肖早期的工作,那是不能验证的。此时,理论家们是闲不住的。如果两种作用可以合在一起,为什么不能找到一个统一场来包容所有基本相互作用呢?与以往任何时期相比,此时爱因斯坦的梦想更急于成真,不是以一种对称形式,而是以超对称和超引力形式。
[attachment=NA]
图E.5 当磁棒冷却时,产生了对称性破缺
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:18:36 | 显示全部楼层

非对易几何

 
阿兰的量子引力方法要回到基础,发明一种能完美统一几何的数学结构与量子引力的新数学。这种数学叫非对易几何。“非对易”指量子理论的量由不能对易的对象来代表,即AB不等于BA。量子理论的这种非对易性密切关联着这样一个事实:不能同时测量一个粒子的位置和动量。当两上量不对易时,就不能同时知道它们的数值。现在,这似乎与几何的本质相矛盾,因为几何就是从曲面的直观图像出发的。非对易几何出现在几种不同的量子引力方法中,包括弦理论、DSR和圈量子引力。
其实庞加莱原理也与非对易几何有一定的联系,我们知道庞加莱原理的小尺度极限正是正则量子化方法,在地狼星的例子里,我们将地狼星运动到水平位置时称为动量态,而将地狼星运动到垂直位置时称为位置态。Connes的思想要深刻得多;它在根本上统一了代数和几何。非对易几何的一个成功是它直接引出了粒子物理学的标准模型。正如阿兰和他的同事们所发现的,当你将Maxwell电磁学写成最简单的非对易几何形式时,统一电磁力与弱核力的温伯格-萨拉姆模型将自然出现。
换句话说,弱相互作用连同Higgs场都将自动而正确地显现出来。判断一个统一是否成功,就看它是否能立刻表现与自然的一致。Connes的简单思想出现了正确的弱力与电磁力的统一,这是很诱人的结果。弦理论本该出现这样的东西,可惜没有。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:19:45 | 显示全部楼层

非对易几何

 
Non-commutative geometry explains the Higgs field as a magnetic field accompanying certain Yang-Mills fields, among them the ones of the standard model.
l         -Mills + 非对易几何 = -Mills-Higgs
The geometric noblesse of the two circles allows their promotion to non-commutative geometries. The promotion of the two circles to one of these, an almost commutative geometry, produces the three ellipses from the two promoted circles.
To construct a Yang-Mills action ∫(F; *F), we need four ingredients, differential forms on space-time M, a Lie group G, ‘the internal space’, a scalar product on the space of differential forms M and an invariant scalar product on the Lie algebra g of the group G. To construct the action which is a real number, we take the scalar products of the field strength with itself. The first scalar product involves the space-time metric g hidden in the Hodge star *, (κ, φ) := ∫κ*×φ, κ and φ differential forms of same degree. The second scalar product is on the Lie algebra, e.g. for G = SU(n), the general invariant scalar product is (a, b) = 2tr(a*b)/g[sup]2[/sup], a, b su(n) and the coupling constant g is a positive number. Non-commutative geometry in its almost commutative version unifies space-time and internal space and the two scalar products are derived from one common scalar product. At the same time coordinate transformations on space-time are unified with gauge transformations. They are nothing but the automorphisms of the almost commutative geometry. This last point will be the starting point of the fourth geometric dreisatz unifying Yang-Mills with gravity.
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:20:21 | 显示全部楼层

标准模型

 
So far we have seen the two noble pieces, Yang-Mills and Dirac. Their noblesse has even convinced mathematicians, Donaldson has used a non-Abelian Yang-Mills theory to discover exotic differential structures on R4 and the Dirac operator has been elected differential operator of the decade by Atiyah & Singer. I feel that these two actions deserve the comparison with the circles of planetary motion and we are ready for the epicycles, the other three pieces are indeed cheap copies of the circles with the gauge boson A replaced by a scalar φ. We need these three epicycles to cure only one problem, give masses to some gauge bosons and to some fermions. These masses are forbidden by gauge invariance and parity violation. To simplify the notation we will work from now on in units with c = ħ = 1.

The Yang-Mills action contains the kinetic term for the gauge boson. This is simply the quadratic term, (dA, dA) that by Euler-Lagrange produces linear field equations. Again we need this minimal coupling ψ*Aψ for gauge invariance. The non-Abelian Yang-Mills action contains interaction terms for the gauge bosons, a bounded, invariant, forth order polynomial, 2(dA, [A, A])+([A, A], [A,A]).  The two circles, Yang-Mills and Dirac, contain three types of couplings, a trilinear self coupling AAA, a quadrilinear self coupling AAAA and a the trilinear minimal coupling ψ*Aψ. The gauge self couplings are absent if the group G is Abelian, the photon has no electric charge, Maxwell's equations are linear.
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-4 09:20:46 | 显示全部楼层

最痛苦的耻辱

 
The standard model is the most painful humiliation of physics today. The humiliation has four levels:
l        The rules of the Yang-Mills-Higgs model building kit contain three epicycles.
l        The winning bills are unmotivated except for the U(1) coming from quantum mechanics.
l        The winning coins are numerous, 18, and beg for an understanding.
l        The theory of gravity is completely different from the Yang-Mills description of the electro-weak and strong forces. The underlying group of gravity is the group of diffeomorphisms of space-time, Diff(M), that formalizes the coordinate transformations. This group is not a Lie group. Any attempt to unify all four forces has failed so far.
Nevertheless, and this makes the humiliation painful, the standard model reproduces correctly millions of experimental numbers that cost billions of Swiss Francs. Every anomaly free Yang-Mills-Higgs model, in particular the standard model, is renormalizable. Renormalizable theories are rare answer therefore precious. Connes has shown that non-commutative geometry eases the humiliation on all four levels.
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