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[资料] 广义相对论和微分几何

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henryharry2 发表于 2012-8-24 13:08:12 | 显示全部楼层 |阅读模式 打印 上一主题 下一主题
 
我是作为一个微分几何学者来谈谈广义相对论令人敬佩的结构。如我所理解,广义相对论属于物理学,它的基础是物理实验。几何学的目标应该是研究空间。几何学的研究是由传统和持续性所指导的,其评价标准是数学的创造性、简洁、深刻以及它们的良好的结合和协调。因此几何学有更大的自由并可略事沉醉于想象的课题。但是在历史上,它也曾被突然惊醒,发现这些抽象的对象一贯和现实密切相关。
微分几何和广义相对论的关系就提供了这样的一个事例。微分几何作为独立的学科诞生于1827年。这一年高斯发表了他的《曲面的一般研究》,在其中,他以二次微分形式为基本工具,奠定了二维的局部微分几何的基础。即使高斯也没有能预见到,这理论的四维推广会成为引力论的基础。
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henryharry2 发表于 2012-8-24 13:10:02 | 显示全部楼层

爱因斯坦以前的微分几何

 
在1854年《论几何学的基础假设》中,黎曼将高斯的工作推广到高维,并打下了黎曼几何的基础。他文章中首次引进n维流形的概念,其中的点用n个实数作为坐标来描述。这是从高斯以来的巨大的一步,因为高斯的弯曲曲面是放在三维欧氏空间中的,而不是内在的。爱因斯坦对数学的看法是纯正的,他难于接受黎曼这样的概念。黎曼几何的基本问题是微分形式的问题:在两个不同坐标系中给定两个二次微分形式,求存在坐标变换将一个微分形式变到另一个的条件。
这个问题于1869年由E. 克里斯多费尔及R. 李普希茨解决了。克里斯多费尔的解包含了以他的名字定名的记号及协变微分的概念。在此基础上,1887~1898年间里奇发展了张量分析,这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T. 列维-齐维塔,在历史性的研究报告《绝对微分法及其应用》中,对里奇计算法作了一个综述。克里斯多费尔曾在苏黎世的高等工业学校任教(后来爱因斯坦是这里的学生),因而对意大利的几何学者产生了影响。
与这些发展同样重要的是,在世纪转折时期微分几何学的主要活动集中于欧氏空间的几何,这继承着欧拉与蒙日的传统。一个代表性的工作是达布(Dauboux)的四卷《曲面论》,它过去是而且现在仍然是一部经典著作。要几何学者从一个绝对的围绕空间(通常是欧氏空间)中解放出来是困难的。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:10:29 | 显示全部楼层

埃尔朗根纲领

 
大约与克里斯多费尔-李普希茨解决形式问题的同时,Felix Klein在1871年阐述了埃尔朗根纲领;这就是把几何学定义为研究有连续自同构群的空间,例如欧氏空间具有刚体运动群,射影空间具有射影直射变换群等。埃尔朗根纲领用群论统一了几何,其中包括非欧几何学;根据Klein的观点,非欧几何学只要在空间中有一个所谓二次的超曲面,讨论在所有的投影变换下,使这个二次超曲面不变。
例如:在平面上有一个圆周,非欧几何就是要讨论在投影变换下圆周仍不改变的性质。因此根据Klein的观点,非欧几何学就变得极易处理。在应用上,它可以从已知几何结果中导出新的、看上去没有关系的结果(作为群的同构的推论)。索菲斯•李的线性球变换是一个有名的例子。我们认为,Klein的观点也能用于量子力学,波函数(|薛定谔鸡>+|薛定谔蛋>/√2可以构成自同构群。
Klein的埃尔朗根纲领与狭义相对论完美地结合,狭义相对论中的一个原理是洛伦兹群下场方程的不变性,这导致了Klein这们处于世纪转折时期最有影响的德国数学家成为狭义相对论最早的支持者之一。洛伦兹结构在相对论中起了基本的作用,它还有几何学的解释。当我们研究空间中球的几何时,将球变为球的所有接触变换构成一个15参数群,而把平面变为平面的变换构成一个10参数的子群,后者与4个变量的洛伦兹群同构,所导致的几何学就是拉盖尔的球几何学。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:10:56 | 显示全部楼层

爱因斯坦以前的微分几何

 
Klein的埃尔朗根纲领的成功自然地引起了Klein空间或现在称之为齐性空间中的微分几何的研究。特别地,射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文,后来从1906年起为E.J. 威尔辛斯基的美国学派所发展,从1916年起为G. 富比尼的意大利学派所发展。
20世纪初,整体微分几何处于摇篮时期。1909年,马科帕迪阿亚阐述了四顶点定理。冯•迪克在1888年从高斯-博内公式导出拓扑的结论:一个闭的有向曲面的高斯曲率的积分等于2πχ,这里χ是曲面的欧拉示性数。Hilbert以独特的预见在1901年写了关于常数高斯曲率的曲面一文,在文中他给出了利布曼定理即具有常数高斯曲率的闭曲面必为球的一个新证明,还证明了定理(Hilbert定理):具负常数曲率的完备曲面不能到处正则。在Hilbert的辅导下,佐尔在1903年发现,非球的旋转闭曲面的所有测地线都是闭的。在动力学的推动下,庞加莱与G.D. 伯克霍夫证明了在凸曲面上存在闭测地线。
微分几何的最终目的是整体的结果。但是,局部微分几何不能减缩到最低限度,因为每个整体结果必须有一个局部的基础。为使整体微分几何有一个系统的发展,必须打下它的基础。这必须从拓扑中来。广义相对论提供了动力。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:11:20 | 显示全部楼层

广义相对论的影响

 
爱因斯坦建立广义相对论时,有效的数学工具是以里奇计算法来论述黎曼几何学。爱因斯坦引进了有用的和式约定。对微分几何的影响是令人震动的。黎曼几何成为中心的课题。我们注意到斯豪腾、列维-齐维塔、E. Cartan和艾森哈特等人关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924~1926年期间。这些发展立即得到推广。很快就清楚,在应用黎曼几何于相对论时,不是黎曼尺度本身而是列维-齐维塔平行移动起着关键的作用。H. 外尔在他的名著《空间、时间、物质》(1918)中引进了仿射联络的概念。这是一个可用来定义平行移动和协变微分的结构,不必需是黎曼结构。外尔的联络是对称的或无挠率的。
E.Cartan在他的主要论文《仿射联络的流形及广义相对论》(1923-1924)中给出仿射联络的权威性以及它向有挠率联络的推广。这篇文章当时并未受到重视,原因很简单:因为它走在时间的前头。因为它比仿射联络论更丰富。它的思想可以容易地推广到任何李群的纤维丛的联络理论中去,对这理论,里奇计算法已经不能适应了。文章还说明为什么爱因斯坦的理论是牛顿理论的直接推广。特别地,可以举出下列贡献:
(1)引进了结构方程,并将比安基恒等式解释为对结构方程进行外微分后所得的结果;
(2)认识到曲率是一个张量值的二次外微分形式。
用几何的话来说,仿射联络是一族仿射空间(即纤维),它们由一个空间(基空间)所参数化,使得这族仿射空间是局部平凡的,并且有一个纤维沿着基空间的曲线“展开”的法则,使线性关系得以保持。类似地,我们可以把克莱因空间当作纤维而以作用于克莱因空间的李群来代替完全线性群,并且也有一个对应的展开法则。嘉当称这样的结构为一般空间。一般来说,这个联络是非和乐的,即展开依赖于基空间的曲线。换句话说,沿一条闭曲线作展开时,空间并不回到原来的位置,它的变差是由联络的曲率来度量的。显然,克莱因空间本身是一个曲率恒等于0的一般空间。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:11:45 | 显示全部楼层

广义相对论的影响

 
在Klein制订埃尔朗根纲领时,已观察到黎曼几何并不包括在内,因为一个一般的黎曼空间除恒等变换外并不含有其他等长变换。从Cartan的观点来看,黎曼空间是一个以欧氏空间为纤维的空间,并且具有列维-齐维塔(Levi-Civita)联络;这解决了微分几何中的一个基础的问题,因为这样就有了一个概念,它包括了Klein空间、黎曼空间以及这两种空间的推广。
几何结构往往以一个非直观的形式给出。通常它或是一个由积分所定义的尺度,或是由一组微分方程所定义的子流形族。两个最熟悉的例子是黎曼尺度和由二阶常微分方程所定义的道路。在这样的空间定一个联络不是一个容易的问题。事实上,就是黎曼空间的列维-齐维塔联络的定义也已相当不平凡了。如所期望,道路空间几何学(E. Cartan、O. Veblen、T.Y. 托马斯) 涉及到射影联络。
这些发展就是通常所说的非黎曼几何。广义相对论中也有平行的发展。狭义相对论用于电磁场,广义相对论用于引力场,统一场论是两者的结合,它的需要是清楚。1918年,H. Weyl以他的规范场论走出了最初重要的一步。Weyl利用一个具有相似变换群的一般空间,但被发现它在物理上是站不住的。现在了解到,他的规范群不能是相似变换群所成的非紧致群,而是紧致的圆群。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:12:11 | 显示全部楼层

广义相对论的影响

 
跟随Weyl之后,又提出了其他一些统一场理论,其中有Kaluza-Klein,爱因斯坦-梅耶(Mayer,1931)和维布伦(Oswald Veblen)的相对论的射影理论(1933),维布伦的理论是四维的,但切射影空间有五维的齐次坐标,维布伦的射影理论在几何上是简单的,他的出发点是空间的路径,它们是带电粒子的轨线。维布伦的思想和我们的类似,我们进一步认为电荷是增广欧氏空间(反演平面+无穷远点)或射影空间中的无穷远点;这个观点为消除重正化中的无穷大打下了良好的基础。
爱因斯坦本人在他的整个晚年从事研究统一场论,经常有合作者。陈省身看到他的问题的极端困难以及数学与物理之间的区别。数学中有名的问题通常是已经提得很明确的,但在物理上,问题的提法也是问题的一部分。爱因斯坦对最后答案有一个严格的标准,他不满足于上面提到的建议,事实上也不满足于其他许多建议。他尝试各种可能为统一场论奠基的几何结构。在其中有:
1)、非对称张量(见《相对论的意义》,第5版,1955,附录II);
2)、具有埃尔米特结构的四维复空间;
3)、比黎曼空间更一般的度量空间。一般度量空间的几何为K. 门杰(Menger)所建立与研究,对此,爱因斯坦的朋友K. 哥德尔(Gödel)给出重要贡献。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:12:39 | 显示全部楼层

线性量子场论

 
在情况1中,度规唯一地分解为对称与反对称的两部分。如果前者非退化,则结构等价于一个具有二次外微分形式的拟黎曼结构。按照度规的对称部分的符号是++++或+++-,这个拟黎曼结构是黎曼式的或是洛伦兹式的。情况2是密切地与复代数流形及多复变函数有关,在最近数十年中,它们是大大地发展着的数学领域。同样是在外尔工作的激发之下,爱丁顿(A. S. Eddington, 1882-1944)在1921年建立了一种对称联络理论,该理论中里奇张量的对称和反对称部分分别扮演着度量和电磁场的角色。
亚瑟·斯坦利·爱丁顿爵士是著名的天体物理学家,他还以验证并热心宣传广义相对论而闻名于世。爱丁顿首次提出了一种基于仿射联络,而非广义相对论所集中讨论的度规张量作为基础结构场的引力扩展理论。仿射联络是矢量从时空流形中一点平行输运到另一点的基础;爱丁顿假设了仿射联络在协变下标下是对称的,这是由于将一个无穷小矢量在另一个无穷小矢量的方向上进行平行输运所得的结果,和反过来进行平行输运所得的结果应当是相同的。
爱丁顿的思想和我们的有一点类似,我们发现,里奇张量的对称和反对称部分分别扮演着牛顿引力场和电磁场的角色。另外,你还可以将其看成是极矢量和轴矢量之间的超对称性。也就是说,按照我们的方法改造,爱因斯坦和爱丁顿的思想的确是行的通的。广义相对论是非线性场,而庞加莱原理已经将广义相对论彻底线性化了,这样,在线性量子场论中,度规与联络是对偶的。而由对称场到反对称场的变换相当于量子场论中的Wick转动,这样,就为消除重正化中的无穷大背景打下了良好的基础。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:13:05 | 显示全部楼层

正质量猜测,极小曲面

 
爱因斯坦之后的时代,广义相对论重视了整体理论(或大尺度时空),在这方面有很大的进展。来源是宇宙论,爱因斯坦本人在这方面很活跃,但是整体微分几何的发展所起的影响是毫无疑义的。宇宙被视为一个四维连通的洛伦兹流形,物理与几何比以往更缠结在一起了。不过,纯粹的几何问题通常较简单,其中的两个原因是:几何学为毕达哥拉斯式的几何或黎曼几何,几何学家可以用假定的紧致性来理想化。
很自然地,要把一给定瞬时的数据记录成“数据集”,数据集是一个超曲面Σ,其上到处有类时的法线(因而诱导尺度为黎曼尺度)。这样四维流形的超曲面理论(它是古典曲面论的直接推广)在广义相对论中起了一定的作用。Σ的局部的不变量由两个二次微分形式即第一、第二基本形式给出。第二基本形式系数的迹称为平均曲率,平均曲率为零是极大超曲面的特征。另一方面,Σ上的诱导尺度有一个数量曲率,所有这些量均由高斯-柯达齐(Codazzi)方程联系。由爱因斯坦场方程推出,质量密度μ及动量密度J是第一、二基本形式系数及其协变导数的组合。因为动量密度必须不超过质量密度,用庞加莱原理的话说,Weyl引力永远不会超过牛顿引力。在极大超曲面上,数量曲率是非负的。
这也意味着奇点是不会产生的,奇点实际上是广义相对论的绝对时空观推导出来的一个怪胎。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:13:35 | 显示全部楼层

正质量猜测,极小曲面

 
如果对某些紧致集C,Σ-C包含有限个连通分支,使得每个连通分支微分同胚于三维欧氏空间中一紧致的余集,并且它的尺度渐近,其中r是到原点的距离,那么相应的数据集称为渐近平坦的。在施瓦西尺度的情况,M符合于施瓦西质量,因为称为连通分支的总质量。正质量猜测为:对于一个渐近平坦的数据集,每个连通分支有总质量M≥0,并且如果一个M=0,则这个数据集是平坦的(即诱导黎曼尺度是平坦的,且第二基本形式是0)。这个猜测在广义相对论中具有根本的重要性。由于物理上的理由,爱因斯坦假定它是正确的。
在Σ是极大超曲面的假定下,1978年,R. Schoen与丘成桐最一般地证明了它。这个工作的全部经过是相对论学家与微分几何接触与合作的一个完美的例子。1973年在斯坦福大学举行的美国数学会微分几何暑期研究会上。R. Geroch被邀请作一系列广义相对论的报告。正质量猜测显然是未解决的问题之一。为使它的陈述简单化,格罗赫列出一些有引导性的猜测,其中一个如下:“在三维实数欧氏空间中,考察一个在紧致集之外是平坦的黎曼尺度,如果数量曲率≥0,则这尺度是平坦的。”将这紧致集围在一个大盒子中并把相对两面看作恒等(这让我们想起来,轴矢量的单重几何总是将对径点看作恒等),J. Kazdan与F. Warner把猜测改写如下:“数量曲率≥0的三维环面上的黎曼尺度是平坦的。”格罗赫指出:“广泛地觉察到,证明了这些特殊情况中的几个,就可以推广到整体猜测的证明。”
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