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[资料] 广义相对论和微分几何

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henryharry2 发表于 2012-8-28 11:56:54 | 显示全部楼层

量子的扭量

 
我们希望得到扭量的量子理论,为此我们必需定义扭量波函数,在扭量空间上的复值函数f(U)。由于U包含有涉及位置变量和所有动量变量的分量,而我们在一个波函数中同时使用所有这一些,所以任意函数f(U)不能先验地作为一个波函数。位置和动量不对易。在扭量空间中其对易关系是[U,Ū]=ħδ, [U,U]=0, [Ū,Ū]=0。这样U和Ū为共轭变量,而波函数必须是其中的一个而不是两个变量的函数,这表明波函数必须是U的解析(或反解析)函数。螺旋度可表为s=UŪ/2。
现在我们必须检查前述的表达式如何依赖于算符顺序。人们发现动量和角动量的表达式和次序无关,因而是正则地确定的。另一方面,螺旋度的表达式和次序有关,我们必须采用正确的定义。为此我们必须取对称的积,也就是s=(UŪ+ŪU)/4。它在U空间表象中,可以重新表达成s=ħ(-2-U的齐次度)/2;我们能把波函数分解成s的本征态。
这刚好是确定的齐次性的波函数。例如,零自旋并具有零螺旋度粒子是齐次性为-2的扭量波函数。一个左手自旋1/2粒子具有螺旋度s=-ħ/2,因而其扭量波函数具有齐次性-1,而这种粒子的右手版本(螺旋度s= ħ/2)具有齐次性-3的扭量波函数。对于自旋2的右手和左手扭量波函数,其相应的齐次性为-6和+2。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:57:36 | 显示全部楼层

量子的扭量

 
这也许显得有些向一方倾斜,因为广义相对论毕竟是左右对称的。但是自然本身是左右不对称,所以这也不见得有那么坏。此外,在广义相对论中的一个非常强有力的工具,即阿什特卡的“新变量”也是左右不对称的。有趣的是,这些不同的方式都会导致这种左右不对称性。
人们也许认为,我们只要改变U↔Ū就能恢复对称性,填倒齐次性的表,然后对一种螺旋度用U,另一种用Ū。然而,正如在通常的量子力学中,我们不能同时混合位置和动量空间表象,类似地,我们不能混合U和Ū表象。我们必须二者择一。究竟哪一个更基本尚未知。
我们的线性量子场论与扭量理论恰好是互补的,我们认为牛顿引力子是左-右配对形成的。与非线性场不同,点-线对偶性直接就是量子化的,不像非线性场那样需要通过鬼粒子的帮助才能够无矛盾地量子化,所以线性量子场论中从来都没有为量子化的问题而烦恼过。将位置当成点,动量当作线,线性量子场论可以在位置和动量的混合空间表象中讨论问题。点-线对偶性生成的量子化还可以解决扭量理论的非定域性问题,很明显,扭量非定域性与定域量子场论的微观困果性是矛盾的。当然,射影空间中的点实际上是点列的意思,而线则是扭量理论中的线束的意思,射影空间中的点-线对偶性实际上是点列和线束之间的对偶性。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:58:15 | 显示全部楼层

量子的扭量

 
下一步我们要得到f(U)的时空描述,为了方便,现在开始标记为f(Z)。这可由围道积分来实现此处积分是沿着投射到r 的Z 空间的围道进行(记住Z 有ω和π两部分),而π或者α/αω的数目依场的自旋(以及手征)而定。这一方程定义了一个时空场φ…(r),它自动满足零质量粒子的场方程。这样,扭量场的解析性限制,至少对于平坦空间中的线性场,或者爱因斯坦场的弱能极限载有所有的零质量粒子的繁琐的场方程的密码。
时空中点r 在几何学上是一根扭量空间中的CP1 线(它是一个黎曼球)。这根线必须穿过f(Z)定义的区域。一般来说f(Z)不是处处定义的,而且具有奇性的地方(我们正是围绕着这些奇性区域对围道积分求值)。在数学上更精密地讲,一个扭量波函数是一个上同调元。为了理解它,考虑我们感兴趣的扭量空间区域的开邻域的族。扭量函数应在这些开集对的交上被定义。这表明,它是第一束上同调的一个元素。
我不想仔细讨论这些,但是“束上同调”听起来怪吓人的。虽然线性量子场论是直接量子化的,但是点列-线束的对偶性仍然会引出非线性效应;例如量子细胞分裂本是一个线性过程,但是重复使用仍然会引出可怕的非线性效应。我们估计很大一部分非线性可以通过动态重正化来解决,动态重正化要求所有夸克具有某种集体的共性,这与代数几何中层的概念类似,这样通过动态重正化就可以解释核子的自旋。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:58:56 | 显示全部楼层

量子的扭量

 
回想起我们真正需要的,是和量子场论相类似,找出一种从场幅度分离正频和负频的方法。如果一个定义在PN 上的扭量函数(作为第一上同调元)延拓到扭量空间的上一半PT+,它就具有正频。如果它开拓到下一半PT-上,它便具有负频。这样,扭量空间就抓住了正频和负频的概念。
这种分解允许我们在扭量空间中开展量子物理。安德鲁·霍奇斯(1982,1985,1990)利用扭量图发展了一种量子场论的手段,该图类似于时空中的费因曼图。利用这些,他得到某种非常不同寻常的使量子场论正规化的方法。这是一些在正常时空方法中人们不想采用的方案,但在扭量表象中则非常自然。另一进展是,原先起源于迈克·辛格的一个新观点(霍奇斯·彭罗斯和辛格1989)也受到共形场论(CFT)的刺激。史蒂芬在他第一次讲演中对弦理论进行了一些非常贬意的评论,但是我认为CFT,作为弦理论在世界片上的场论是非常漂亮的(虽然不全部是物理的)理论。它是被定义在任意的黎曼面上(黎曼球是其中最简单的例子,但是其中包括所有一复数维的诸如圆环和“扭结麻花”的流形)。对于扭量我们需要把CFT 推广到具有三复数维的流形,其边界为许多片PN(也就是时空中的光线空间)。这个领域的研究正在进行之中,但是还进展得不快。(加上线性量子场论似乎一切主要困惑就都解决了。)
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 12:00:20 | 显示全部楼层

弯曲空间的扭量

 
我们迄今所做的一切只和平坦时空相关,但是我们知道时空是弯曲的;我们需要一种扭量理论,它可适用于弯曲时空,并以自然的方式重新导出爱因斯坦方程。当然,我们已经解决了这个问题,即将引力的光线偏折效应一半归于引力电效应(这当然是牛顿引力的功劳);另一半归于引力磁效应(这可以由扭量来描述);这样通过点-线对偶性,生成的引力恰好是爱因斯坦方程。那么我们为什么可以将牛顿引力场当作点列,而将光线当作线束来处理呢?这是因为点列实际上是纤维丛的一个特例,我们没有用纤维丛那么复杂的几何语言来描述,而是直接用具有物理直观的点列来描述。至于将光线当作线来处理是因为对称性的自发破缺,类似于量子场论里的Goldstone玻色子;用量子场论的话说,光线经过的地方发生了软模凝聚,就好像飞机飞过留下的尾迹一样,当然你千万不要将量子场论这种类比当成真理来使用。
如果时空流形是共形平坦的(或者换句话说,如果它的魏尔张量为零),则用扭量来描写这个空间没有任何问题,因为扭量理论基本上是共形不变的。还存在一些适用于各种共形不平坦时空的扭量观念,譬如准定域质量的定义(彭罗斯1982;参阅托德1990),以及伍得豪斯-梅森(1988;还可参见弗莱彻和伍得豪斯1990)对稳态轴对称真空的构造(这是基于沃德1977 年的在平坦时空上反自对偶杨-米尔斯场的构造;还可参阅沃德1983);这是应用在可积分系统的非常一般的扭量方法的一部分(参阅梅森和伍得豪斯的书1996)。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-1 16:15:50 | 显示全部楼层

什么是几何学(陈省身)

 
第三个发展是群的观念,这是数学上一个基本的结构。数学上总是要运算。研究几何的话,把这个东西从这个位置移动到其他的位置,也是个运算。而这样的运算,也称为运动,有一个特别的性质,也就是说:把一个物体从甲地移到乙地,再移到丙地,可直接把物体从甲地移到丙地,即两个运动的结果,可经由一次运动来达成,具有这个特殊性质的,便称其成一群。研究几何的对象,应是研究几何的性质,经运动群后是不变的。这个观念立刻便有了重要的发展。
研究几何性质在射影群之下不变的是所谓射影几何。射影几何的发展,把几何的概念推广了,不只是有普通的欧几里得几何讨论几何性质经运动群后不变的,也可以讨论射影几何中,投影后仍是不变的性质。有许多经运动群后不变所性质,在投影变换后是变了的,像距离、角度,但是还有些更重要的性质在大一点如投影下是不变的,而这些性质能经过投影群不变,在几何上自有其重要的意义。
在几何学的发展之中,有许许多多几何学,像欧几里得几何学、射影几何学……及其他种种几何学,自然就要有一个人把它综合集结起来,那就是德国的数学家Felix Klein(1849~1925)。他在23岁的时候讲演的内容——埃尔朗根纲领,就是这个新几何学。他把几何学建立在群的观念上:一个空间有一个变换群,允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置,因此有了一个群之后,便有一种几何,研究所有图形的几何性质经过这个变换群不变的。这个群可以是欧几里得运动群,也可以是投影变换群,或者其他种种的群,因为群的选择不同,也就得到许多种不同的几何学。其中包括非欧几何学,根据Klein的观点,非欧几何学只要在空间中有一个所谓二次的超曲面,讨论在所有的投影变换下,使这个二次超曲面不变的。例如,在平面上有一个圆周,非欧几何就是要讨论在投影变换群下仍不改变的性质。所以非欧几何就变成研究圆内点所构成的空间的性质,也就是双曲平面(hyperbolic plane)上讨论。因此由Klein的观点,非欧几何学就变得极易处理。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-1 16:16:25 | 显示全部楼层

什么是几何学(陈省身)

 
黎曼几何最初在二维的情形是高斯(1777~1854)发展的,他在1827年写了一本差不多50页的小册子,研究在二维即曲面的情形及在这样的ds平方之下,所能够发展的几何性质,他的目的是为了应用,因为当时的德国政府要他主持一个测量工作,为了给这个测量工作一个理论基础,于是高斯写下了这篇在微分几何上最要紧的论文,微分几何自此诞生。以前关于把微积分用在几何上的问题,只能说是微积分在几何上的应用,在高斯这篇文章之后,微分几何便成了一门独立的学问,就是从度规得到一切的几何性质。
黎曼(1826~1866)在1854年,在为取得大学教授资格的公开演讲上,发展了黎曼几何的第一篇论文。黎曼几何并不像其他我们所谈的欧几里得几何,或者Klein的埃尔朗根纲领几何,或者是射影几何,需要整个的空间,在黎曼几何的情形下,我们只需要空间的一部分,因为ds平方有意义,我们便可测量弧长、面积、角度……等几何性质,不需要知道全部的空间,也就是说,在这样的一个小块里,便可发展全部的几何性质,这是黎曼几何革命性的观念,使几何局部化,这个和物理上的场论是完全符合的。
真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。大致说起来,爱因斯坦的广义相对论是要把物理几何化,也就是说把物理的性质变为几何的性质,因此黎曼几何就成为物理学家一定要念的一门数学。到了黎曼空间一样有曲率的概念,只是因为黎曼空间是高维的,所以它的曲率概念就变得相当复杂。在爱因斯坦的广义相对论的基本公式里,大致说起来,物理的力是一个曲率;数学家讲曲率和物理学家讲力其实是同一个观念。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-1 16:17:02 | 显示全部楼层

什么是几何学

 
我觉得物理学里有很多重要的工作,是物理学家要证明说物理就是几何。比方说,你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说,F=ma,F是力,m是质量,a是加速度,加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量,而力当然是物理量。所以牛顿费了半天劲,他只是说物理就是几何。不但如此,爱因斯坦的广义相对论也是这样。爱因斯坦的广义相对论方程里,Rab是里奇曲率,R是标量曲率,K是常数,Tab是能量-应力张量。他的左边是几何量,是从黎曼度量得出来的一些曲率。
所以爱因斯坦的重要方程式也就是说,几何量等于物理量。以上是陈省身的说法,在老先生的说法里,有可能力等于曲率,也有可能加速度等于曲率。当然,陈省身并没有认真对待这两种说法,才会出现两种看似相互矛盾的说辞。实际上,加速度等于曲率是广义相对论的观点,而力等于曲率是我们的观点;在大尺度上,这两种想法导出的结果是趋于一致的;而在微观尺度上,两种想法有很大的区别。
以牛顿引力为例,按照加速度等于曲率推广得到广义相对论;而按照力等于曲率加以推广,在小距离处,(对合)引力的曲率变化是与距离平方成反比的,大大偏离了广义相对论。我们又从另一个角度推导出似乎强相互作用中的轴矢量就是引力,这也是我们的理论优于圈量子引力和弦理论等其他引力理论之处;对于我们来说,统一场论的顶峰一直若隐若现,只要我们能证明庞加莱原理成立(又一个庞加莱猜想?) 那么我们就离统一场论的顶峰不远了;而其他的量子引力理论似乎都还没有找到明确的目标。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-5 11:52:36 | 显示全部楼层

相对论的意义

 
想当年,闵可夫斯基刚刚发表其绝对时空观的时候,爱因斯坦曾经嘲笑过闵可夫斯基,后来为了广义相对论的数学化,爱因斯坦还是全盘接受了闵可夫斯基的绝对时空观——笑话落到了爱因斯坦自己头上。

不过,历史经过了一个轮回,量子场论直接证明了爱因斯坦的嘲笑不无道理——闵可夫斯基的绝对时空在量子场论中的确是没有意义。在量子场论中,闵可夫斯基的绝对时空只是提供了一个绝对的参考系,在计算的开始与末尾,这个绝对参考系输出的结果将被抵消;不过还剩余出一个人人都深恶痛绝的尾巴——一个人人憎恨的无穷大。

这也是Feynman称量子场论“脑筋不正常”的主要原因,你看,狭义相对论在量子场论中形同鸡肋——食之无味,又不能摒弃之(狭义相对论是量子场论两大基础之一)。那么,能不能让这个鸡肋变得有意义起来呢?办法就是将电荷、质量都变成无穷远点(相当于电荷和质量重正化),光子的世界线变成无穷远直线(相当于波函数重正化);也只有在射影空间中,无穷远点和无穷远直线都是有意义的(想必彭罗斯早就发现这个秘密了);然后,将重正化的结果全部吸收到动态重正化中,这样,用无穷远代替无穷大,我们才能够得到一个真正自洽的量子场论。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-9-8 13:31:13 | 显示全部楼层

反演几何与保角变换

 
我们知道,原子中电子的轨道和原子核中核子的轨道都可以用球谐函数来表示,至于求解球谐函数的方法可以采用群论的方法,但群论的方法属于代数方法,那么是否有几何的方法求解电子与核子的轨道呢?有的,前提是我们必须先将库仑力和牛顿引力几何化。事实上,只有反演几何可以无矛盾地将库仑力和牛顿引力几何化。反演变换是一种保角变换,这就和彭罗斯发展扭量理论的思想相似起来,事实上,彭罗斯的扭量理论基于的是共形变换。

共形变换适用于无质量的粒子,而反演几何的保角变换适用的是有质量粒子的情形。利用反演变换将库仑力和轴矢量力几何化有几个好处。首先是经典电动力学和量子电动力学中都遇到的“脑筋不正常”的问题,在经典电动力学中,这体现为点电荷的能量问题,当我们计算点电荷的能量时,会发现当r→0时,点电荷的能量会趋于无穷大,而利用反演几何就不会遇到这个问题,在反演几何中r→0时的点实际上是无穷远点,反演空间是完备的几何空间。

其次,几何化后可以回答一些量子力学和原子核物理中困惑的问题,例如,庞加莱说三体问题是不可解的,重原子中至少有几十个电子,为什么没有表现出混沌的迹象呢?还有,原子核壳层模型的平均场理论中,有的核子有很大的轨道角动量,核子之间为什么不会碰撞呢?利用反演几何,我们会发现这些电子与核子的轨道其实是“平行”的(我们又一次遇到了庞加莱,这种平行性类似于反演几何中的Steiner链),因此它们之间不会碰撞是容易理解的。
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