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[资料] 广义相对论和微分几何

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henryharry2 发表于 2012-8-28 11:50:12 | 显示全部楼层

量子力学里能量的正定性

 
为什么在哈密顿量上加上一个常数K就能够起到使薛定谔方程的所有解都乘以同一个因子的效果。找出这个因子。假定我们考虑的是量子系统的引力效应,它会从根本上影响到量子动力学吗?为什么在些条件下我们不能简单地用这种方法“重正化”能量。实线相当于绕黎曼球面一周的赤道线,函数f的正频率部分可理解为全纯地扩展到整个南半球的部分,负频率部分对应于北半球部分。但现在我们对这个极为重要的概念有了相当好的物理上的理由。

任何“自尊的”波函数,虽然其本身不必是能量的本征态,都应能表示为能量本征态的线形组合,每个能量本征值都应当是正的。这样,任何“体面的”波函数都应具有这种至关重要的正频率特性。在我看来,基本的物理机制要求与优美的数学性质这两方面的显著的联系,正是高深的数学概念与我们这个宇宙内部机制之间那种深奥的、微妙的、乃至神秘的关系的突出例证。

在非相对论量子力学里,只要哈密顿量是出自合理的物理问题(其中经典能量是正的),作为理论的自然本性,这种正频率要求大都能自动实现。例如,对(正)质量μ的单个的自由的非相对论(无自旋)粒子情形。表达式p平方以及哈密顿量Ĥ本身是所谓“正定的”。从经典的观点看,所以如此是因为p平方是一平方和,它不可能是负的。而在量子力学里,我们必须用p=-iħ▽取代p,现在“正定性”指的是算符的本征值(对归一化态,就是适当Hilbert空间的元素),这些也不可能是负的,其理由与经典情形本质上一样。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:50:51 | 显示全部楼层

无穷维代数

 
对费米子情形,这些反对易法则正好与Clifford代数法一致。唯一的基本区别就在于普通的Clifford代数是有限维的,而对于费米子场,产生算符和湮没算符的空间则是无限维的——单粒子波函数是无限的。不过读者应当明白,尽管无限维空间在很多方面与有限维空间情形相似,但仍有着非常不同的性质,而且常常更难于处理。
有意思的是,量子场论体系还用到我们前面考虑过的某种有限维代数结构的无限维版本。例如标积<|>就是Hilbert标量积的无限维形式。事实上,在量子场论中,我们发现不止是“埃尔米特形式”(幺正性),而且对称形式(“伪正交性”)、反对称(辛)形式和复结构也都有类似性质。普通有限维的伪正交形式和辛形式。量子场论中如何产生(无限维)复结构,这一点特别有意义。
我们已看到,复数、全纯函数和复矢量空间在量子力学(从而在我们的宇宙结构)中具有重要的作用。但在量子场论研究中,具有相同地位的无限维复结构似乎与早先的这些复数魔方有着不一样(尽管有关)的作用。这里仅仅宣称量子力学的Hilbert空间是复的(即量子叠加具有复系数)是远远不够的。我们来看看这里还有什么。让我们回顾一下,我们是如何引入一个复结构概念的。n维复矢量空间可看成是2n维的实矢量空间,其中运算J满足J平方=-1,它对2n维实空间的作用相当于n维复空间上的“乘i运算”。对于量子场论的无限维情形,我们必须找到一条由经典场过渡到量子场的途径。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:51:28 | 显示全部楼层

无穷维代数

 
将电磁场作为模型铭记在心是有用的。这里,Maxwell方程的线性性质使问题变得简单了。自由Maxwell方程(设立适当的在无穷远处衰减到零的条件使得相关积分收敛)的解空间F是一个无限维实矢量空间。我们可以将Maxwell方程的每个解表示为正频率解和负频率解之和:F=正频率解+负频率解。将解分成正、负频率对于构造恰当的QFT具有重要意义。实际上用共轭波函数E±iB也可以实现正/负频率的剖分,而且你可以看的出来,共轭波函数与John克雷默的量子力学互动解释是相容的。
运算J将这个无限维实矢量空间F变换为(无限维)复矢量空间,同时也给出了正/负频率部分的方法。它是按下述方式作用到每个自由Maxwell场F做到这一点的:J(F)=i正频率–i负频率。J的本征值为i的本征态是正频率(复)场,本征值为-i的本征态则是负频率场。正频率场提供由产生算符引入的单光子波函数。如有必要,同样存在明确的可用于归一化态的标积表达式(这涉及下述这种表达式的三维类空曲面上的积分,这个表达式包括Maxwell场分量与Maxwell势分量的乘积)。
截至目前,我都是用粒子/波函数语言来描述事情,但我们所需知道如何直接从经典场迈向量子场,似乎用共轭波函数直接量子化是最快捷的方法。另一些经典场可做类似处理,但当“自由场方程”不是线性的时候(例如像广义相对论),深刻的差别就出现了。我们可以将非线性场称为“自相互作用”场,并将由此出现的困难归结为对含相互作用的情形进行量子化所带来的问题,很快我们就会遇到这种问题。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:52:02 | 显示全部楼层

薛定谔鸡的经典性

 
让我首先对史蒂芬上回讲演作点评论。
猫的经典性。史蒂芬论证道,由于时空的一定区域不能触及,我们被迫使用密度矩阵的描述。然而,这不足以解释在我们区域观察的经典性质。对应于找到或者一只薛定谔活猫│薛定谔活猫〉或者一只薛定谔死猫│薛定谔死猫〉的密度矩阵和描述以下两种叠加的混合的密度矩阵相同
(│薛定谔活猫)+│薛定谔死猫〉)/√2,和(│薛定谔活猫)-│薛定谔死猫〉)/√2。

这样,密度矩阵本身不能说,我们不是看到活猫便是死猫,或者是这两种叠加之一种。正如我试图在上一次讲演末尾所论证的,我们需要更多的。事实上,我们还有一个辩证唯物主义版本的(│薛定谔鸡〉+│薛定谔蛋〉)/√2,和(│薛定谔鸡〉-│薛定谔蛋〉)/√2。大自然总是懂得废物利用的,假如大草原上真的有一只野猫死掉了,它的尸体会成为别的动物的食物,生命仍然得以另外一种方式延续。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:52:36 | 显示全部楼层

扭量和扭量空间

 
量子场论中使用欧几里得化的真正根源在何处呢?量子场论需要把场论分解成正频和负频部分。前者沿时间前进方向传播,而后者向后传播。为了得到理论的传播子,人们需要一种把正频率(也就是正能)部分挑出来的办法。扭量理论是完成这种分解的一个不同的框架——事实上,这种分解正是扭量的一个重要的原始动机(见彭罗斯1986)。

为了仔细地解释,让我们首先考虑作为量子理论基础的复数,我们将会发现复数结构也是时空结构的基础。这些就是z=x+iy 形式的数,这儿x,y 为实数,而i 满足i平方=-1,把这种数的集合表为C。人们可以在一个平面(复平面)上把这些数表达出来,或者如果加上无限远的一点,则可在一个球面(黎曼球)上表达出来。这个球面在数学的许多领域,例如分析和几何中,是非常有用的概念,在物理学中也是如此。该球面可被投影到一个平面(和在无限远的一点)上。取一个通过球面赤道的平面,并把球面上的任意点和南极相连。这根线和平面的交点E 是它在平面上的对应点。注意:在这个映射下北极跑到原点,南极跑到无限远,而实轴被映射到通过南北二极的一个垂直的圆周。我们可以旋转球面使实轴对应于赤道,我在此刻便采用这样的习惯(见图6.1)。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:53:25 | 显示全部楼层

扭量和扭量空间

 
假定我们有一个实变量x 的复值函数f(x)。从上面得知,我们可以把f 认为是一个在赤道上定义的函数。这种观点的一个优点是,存在一个决定f 为正频还是负频的自然判据:如果f(x)可在北半球上被解析开拓,则它是一个正频函数,而它若可在南半球上被开拓,则是一个负频函数。一个一般函数可分解成正负频部分。扭量理论的观念是以全局的方式把这个技术用到时空本身上去。在闵可夫斯基时空上给出一个场,我们要把它类似地分解成正负频部分。我们将要建立扭量空间,作为理解这个分解的途径(见彭罗斯和林德勒1986 以及休格特和托德1985,以对扭量有更多了解)。
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图6.1 黎曼球代表所有复数以及∞。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:54:07 | 显示全部楼层

扭量和扭量空间

 
让我们在讨论细节之前,考虑黎曼球在物理学中的两个重要作用。
1. 具有自旋1/2的粒子的波函数可以是“上”和“下”的一个线性叠加:w|↑>+z|↓>。在黎曼球上这一状态可由点z/w 来代表,而且这一点对应于自旋的从中心出发和球面相交的正轴(首先归功于马约拉纳,还可参阅彭罗斯1994,他们还用黎曼球上更复杂的结构来代表更高的自旋)。这就把量子力学的复数幅度和时空结构相联系。
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图6.2 自旋1/2粒子的自旋方向的空间是比z/w的黎曼球,此处w和z分别代表向上和向下自旋的幅度。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:54:46 | 显示全部楼层

扭量和扭量空间

 
2.想象位于时空一点的观察者,向着太空观星。假定她在一个球面画出这些恒星的角位置。现在,如果第二个观察者同时穿过同一点,但和第一观察者之间有一相对速度,那么由于光行差效应,他会在球面上把这恒星在不同的位置画出。令人惊讶的是,球面上点的不同位置可由一个称为莫比乌斯变换的特殊变换相关联。这类变换精确地形成了维持黎曼球的复数结构的解。这样,通过一个时空点的光线空间,在一种自然意义上是黎曼球。此外,我发现它非常漂亮,联结具有不同速度观察者物理的基本对称群,也就是(受限制的)洛伦兹群,可以作为最简单的一维(复的)流形,黎曼球的自同构群而实现(见彭罗斯和林德勒1984)。
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图6.3 在相对论中一个观察者的天球自然地成为一个黎曼球。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:55:26 | 显示全部楼层

扭量和扭量空间

 
扭量理论的基本观念是试图开发这种在量子力学和时空结构中的联系——正如在黎曼球中所显示的——把这个观念推广到整个时空。我们将要把整个光线当成甚至比时空点更基本的对象。这样,我们把时空认为是从属的概念,而把扭量空间——原先是光线空间——认为是更基本空间。这两种空间由一种对应相关联,时空中的光线在扭量空间中用点来代表。而时空中的点用通过它的光线集合来代表。这样,时空中的一点在扭量空间中变成为一个黎曼球。我们应该把扭量空间当作按照它来描述物理的空间。
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图6.4 在基本的扭量对应中,(闵可夫斯基)时空中的光线用(投影)扭量空间中的点来代表,而时空的点用黎曼球来代表。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:56:20 | 显示全部楼层

扭量和扭量空间

 
直到现在我所介绍的扭量空间有(实的)五维,由于复空间总是(实的)偶数维,所以扭量空间不能是复空间。如果我们把光线认为是光子历史,我们还需要计入光子的能量和螺旋度,螺旋度可以是左手或者右手。这比仅仅一道光线复杂了一些,但是其优点是我们最终可以用复的投影三空间(实的六维)cp3。这就是投影扭量空间(PT)。它具有五维的子空间PNPN 把空间PT 分解成两个部分,左手部分PT-和右手部分PT+
现在,时空中的点由四个实数给出,而投影扭量空间以四个复数的比为坐标。如果在扭量空间中由(Z[sup]1[/sup]Z[sup]2[/sup]Z[sup]3[/sup]Z[sup]4[/sup])代表的一根光线通过时空中的点(r[sup]0[/sup]r[sup]1[/sup]r[sup]2[/sup]r[sup]3[/sup]),那么它们必须满足投射关系,投射关系提供了扭量对应的基础。我需要引进某种二旋量记号。这是通常人们开始发生混淆之处,但是为了计算细节,这种记录极其便利。
扭量代表零质量粒子动量四分量P(其中三个是独立的)以及角动量六分量M(其中四个与这些是独立的)。这些表达式体现了如下事实,即动量P是零性的而且指向未来,而且泡利-鲁班斯基自旋矢量等于螺旋度s 乘以四动量。这些量把扭量变量确定至一个整体扭量相因子。螺旋度可表为S这儿扭量U的复共轭为对偶扭量Ū;注意复共轭把带分号和不带分号的旋量指标相互交换,而且它把扭量和它们的对偶相互交换。这儿,s>0对应于右手粒子,也就是我们当作扭量空间的上半部分,而s<0对应于左手粒子,即扭量空间的下半部分。正是在s=0的情形我们得到实际的光线,因而PN也即光线的方程为UŪ=0
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