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[资料] 广义相对论和微分几何

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henryharry2 发表于 2012-8-28 11:41:54 | 显示全部楼层

光线偏折

 
这样,我们对一些日常事件的看法,例如像对苹果落地这样的事件,就从根本上改变了。与其把引力想象成为某种神秘的力,经过空间作用在一段距离上,倒不如设想,像地球这样的大质量物体,使空间和时间发生了畸变。为了对这个说法有一个直观的了解,一个简单的办法,是把时空想象成一张平展的橡胶软垫。大质量的物体放上去,会使橡胶垫发生局部变形,变形的程度决定于物体的质量。太阳在我们太阳系中,质量远大于其它任何行星,所以它使时空畸变得最厉害。行星可以用大小不等的球来代表,这些球在橡胶垫上围绕太阳滚动,球滚动的路径也就是行星的轨道,它们都位于太阳附近的深“阱”之中。从树上掉下来的苹果,不是被一个力拉向地球,而只不过是滚进地球所造成的局部时空的“阱”里面罢了。
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图7 入射光线掠过一个恒星边缘时会发生偏折,总的偏转角度是2φ(对于太阳来说,φ的值是1.”75,这是通过比较日全食时的恒星位置和它们已知的位置而得到的,最近根据与太阳大致在一条线上的类星体的观测,也得到了同样的值)。[录自W·仑德勒《相对论精义》第147 页。]
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:42:32 | 显示全部楼层

广义相对论

 
爱因斯坦马上算出来的第二个结果,是他在完成广义相对论之前就曾预期的一个效应。这就是光的轨迹被物质所弯曲。从狭义相对论以及它的基本原理之一——即光速对所有观测者都相同,不论他们的速度如何——可以得出一个推论,这就是能量和质量等效。这样一来,一束光的能量就对应着一定的质量,也就可以受到其它物质的引力作用。因此,在一个大质量天体的附近,例如在一颗恒星的附近,光线就会发生弯曲。以前,爱因斯坦也计算过遥远的星光在太阳附近发生的偏折角度,但当时他根据的,是某种狭义相对论和广义相对论的混合方法,其中时空仍然假设是平直的。现在他把这重新计算了一遍,但是应用了时空的曲率。他发现新的结果正好是原来结果的两倍。现在光线必须沿着弯曲时空中的测地线传播了。
我们发现,引力的光线偏折效应也可以用线性量子场论中的点-线对偶性来解释,这里引力电扮演点的角色,引力磁扮演线的角色;也就是说,可以用轴矢量场的自对偶性来解释。其实,自对偶性是比较普遍的现象,例如,没有源的电磁场,电场和磁场就是对偶的;扭量理论的一个重要的原始动机也是自对偶性。如果用线性场同样可以解释一个现象,相信没有人会喜欢再用非线性场来解释。
在他晚年的时候,爱丁顿把这个对于广义相对论的验证,看作是他一生中最伟大的时刻。他的这个观测,也使爱因斯坦一下子在国际上赢得了声望。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:43:08 | 显示全部楼层

广义相对论

 
是英国的爱丁顿帮助验证了爱因斯坦理论的第二个预言。当爱丁顿从中立国荷兰的德西特那里第一次听到爱因斯坦在柏林的工作后,他不顾当时英国和德国已经处于交战状态,就为验证这一理论作出了自己的贡献。他是教友派的信徒,这个教派从道义上反对战争,因而他被准许免服兵役,条件是继续从事他的科学研究,特别是准备监测一次即将到来的日食。1919 年的这次日食,能够观测到星光从太阳近旁经过,因而可以测定光线是否发生了弯曲。通常情况下,太阳光的强烈照射使我们看不到星光。然而,从几内亚湾的普林西比岛回来以后——在那里可以对日食作最好的记录,除非是遇到坏天气——爱丁顿在皇家天文学会的一次聚餐会上,模仿奥玛·哈央姆的诗体,即席朗诵道:
噢,把我们的测量留给智者去评判吧,
但至少有一件事已经搞清——光是有重量的;
尽管其余的事还在争论,有一件事已毫无疑问——
光线靠近太阳的时候,并不是直线前进!
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:43:53 | 显示全部楼层

规范场理论

 
最早的这种不变量是H. Whitney及E. Stiefel在1935年引进的示性类。纤维丛的拓扑研究放弃了代数结构,但是在应用上,具有线性结构的向量丛却更为有用。粗糙地说,流形M上的一个向量丛π:E→M是一族向量空间,它们由M所参数化,使得从局部来看它是一个乘积。对应于x∈M的向量空间称为点x的纤维。例子是M的切丛以及联系在其上的所有的张量丛。一个更平凡的丛是乘积丛M×V,其中V是一个固定的向量空间,而(x, V), x∈M,是在x点的纤维。一个向量丛被称为实的或复的是按照纤维是实的或复的向量空间而定,它的维数就是纤维的维数。
重要的一点是,纤维上的线性结构保持着一种意义,使完全线性群对纤维的连接起着基本的作用,这个群称为结构群。如果纤维上已给一个内积,则一个实(或复)向量丛称为黎曼型(或埃尔米特型)的。在这种情形,结构群约为O(n)或U(n),n是纤维的维数,这个丛称为O(n)丛或U(n)丛,类似地,还有SU(n)丛这个概念。
对于每点x∈M,连续且光滑地附上纤维的一点,称为丛E的一个截面。换言之,截面是一个连续映照s:M→E,使得π•s是恒等映照;很明显,由动态重正化可以做到这一点。这个概念是向量值函数与切向量场的一个自然的推广。为了对s进行微分,我们需要在E上有一个“联络”。这样就能定义协变导数(X是M上的一个向量场),它是E上的一个新的截面。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:44:35 | 显示全部楼层

规范场理论

 
协变微分一般是不可交换的,对这个不可交换性加以“度量”,给出了联络的曲率,这是非和乐的几何概念的一个解析的形态。根据E. Cartan,将曲率当为矩阵值的二次外微分形式是重要的。它的迹是一个闭的2-形式。更一般地,它的所有k阶主子式之和是一个闭的2k-形式,它被称为示性形式,按照丛是实的或复的分别是庞特里亚金(Pontrjagin)形式或陈省身形式。根据de Rham理论,2k次的示性形式决定一个维数为2k的上同调类,因而称为示性类。
示性形式依赖于联络,但是示性类只依赖于丛。它们是丛上最简单的整体不变量。向量丛的非平凡性需要通过协变微分来认识,它们的不可交换性解释了最初的整体不变量,这一定是自然界的作用。示性类的这样的导出强调了它的局部性质,且示性形式比示性类包含更多的信息。当M是一个有定向的紧致流形时,最高维数的示性类(即其维数等于M的维数)的积分给出了示性类。当它是一个整数时,被称为一个拓扑的量子数。
人们发现,某些微分几何概念很可能是统一场论的数学基础。Weyl的规范理论处理圆丛或U(1)丛,也就是一维的复埃尔米特丛。在研究同位旋量时,杨-Mills所用的本质上是SU(2)丛的一个联络。这是非阿贝尔规范场理论的第一个实例;从联络可以定义作用量。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:45:10 | 显示全部楼层

规范场理论

 
四维欧氏空间上的SU(2)丛中使作用量取最小值的联络被称为瞬子;它的曲率有一个简单的表达式,称为自对偶关系。从而瞬子是杨-Mills方程的自对偶解。当四维实数欧氏空间紧致化为四维球时,SU(2)丛除了一个同构外由一个拓扑量子数k(k是整数)决定。Atiyah、希钦和Singer证明,对于给定的拓扑量子数k>0,四维球上曲率自对偶的联络的集合(称为模或参数空间)是一个光滑流形,其维数是8k-3。用物理术语来说,这就是拓扑量子数大于零的瞬子空间的维数。
Atiyah和Ward注意到,自对偶的杨-Mills场可以很好地纳入彭罗斯的扭量方案。他们把求所有自对偶解的问题转化为代数几何问题:在复三维射影空间中全纯向量丛的分类问题。这个问题已由K.巴思(Barth)、G.霍罗克斯(Horrocks)等人非常接近地研究过了,用了他们的结果,可以最终地找出所有自对偶解。事实上,回到物理,这些数学结果可以翻译成物理学家感到满意的显式公式。
瞬子通过以下的结果表明它和爱因斯坦的关系;群SO(4)局部同构于SU(2)╳SU(2),所以四维黎曼流形M上的黎曼度量通过投影给出一个SU(2)丛的联络。依投影的方法而区分,M为爱因斯坦流形的充要条件是这些联络为自对偶或反自对偶。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:46:01 | 显示全部楼层

规范场理论

 
SO(4)群的覆盖群是瞬子解用到的SU(2)╳SU(2)’群,要紧的是需要将对径点看成是同一个点,也就是需要同时考虑介子的正能态和负能态。我们需要指出的是,丛和联络这两个几何概念是非常简洁的,我们相信爱因斯坦会喜欢它们。包括弱和强相互作用在内的一个令人满意的统一场论是否能通过非交换规范场论做出?这还有待研究。
作为非本门的学者,陈省身表示了他的希望:广义相对论将不局限于引力场。一个总体的统一场论,否认它将会是什么样的理论,一定会接近于爱因斯坦的宏伟计划,现在已经有了更多的数学概念和工具可以利用。
我们发现,可以利用杨-Mills理论相反的方向对Maxwell理论进行拓展,即首先从表示极矢量与轴矢量对偶性的SU(2)╳U(1)群开始,此处这个群是由共轭波函数(例如E± iB)直接导出的;由于共轭波函数是直接量子化的,因此,线性规范场已经是量子化的;这与杨-Mills场相反,杨-Mills场是先有场,然而再量子化。另一方面,杨-Mills场是非线性场,通过扭量将其线性化;而在线性量子规范场中,我们通过轴矢量场的自对偶性已经将SU(2)╳U(1)群线性化了;从这个意义上说,线性量子规范场与杨-Mills场的线性化顺序也是相反的。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:47:02 | 显示全部楼层

黎曼球面上的频率剖分

 
坐标z和w(=1/z)给出了两个覆盖黎曼球面的拼块。单位圆变成了球的赤道面,圆环现在成了赤道面的“项圈”。我们把劈裂的F(z)看成是两部分的和,一部分全纯地扩展到南半球——称为F(z)的正频率部分——并加上所选的常数项;另一部分全纯地扩展到北半球——称为F(z)的负频率部分——并加上常数项的剩余部分。如果我们忽略掉常数项,那么这个劈裂就唯一地取决于向两半球扩展的全纯性要求。
这么做常常是方便的:我们用画在黎曼球面上的圆(或其他闭曲线)的取向来指称圆的“内”或“外”。单位圆在z平面上的标准取向是按标准θ-坐标增加的方向即逆时针方向为正方向的。如果我们颠倒这个取向(例如用-θ取代θ),则正、负频率发生交换。一般闭环的取向约定也与此一致。如果“钟面”处于环内,则取向是逆时针的;反之,如果“钟面”处于环外,则取向是顺时针的。这种约定规定了有向闭环的“内”和“外”。
我们将看到,函数剖分为正、负两个频率部分这一点对量子理论至关重要,特别是对量子场论。我这里给出的具体公式并不是这种频率剖分的最常见形式,但它在许多不同场合(特别是在旋量理论中)有莫大的好处。常用公式并不像关心傅里叶那样直接关心全纯性的扩张。正频率部分通常由exp(-inχ)的倍数给定,这里n为正。相反,exp(inχ)的倍数给出负频率部分。正频率函数完全由正频率分量组成。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:48:54 | 显示全部楼层

黎曼球面上的频率剖分

 
然而,这种描述并未完全反映出频率剖分的全部内容。有许多黎曼球面到自身的全纯映射,它们将每个半球映射到自身,但却不保北极或南极点(即z=0或z=∞的点)。这些映射保正/负频率剖分,但不保单个的傅里叶分量exp(-inχ)或exp(inχ)。因此,剖分为正、负频率的问题(对量子理论至为关键)是比挑出单个傅里叶分量更为一般的概念。
在通常的量子力学讨论中,正/负频率剖分涉及的是时间t的函数,我们一般并不把时间看成是走过一个圆,但我们可以用简单的变换从χ绕圆行一圈来得到t的整个范围:从“过去的极限”t=-∞到“未来的极限”t=∞。这里我将χ的取值范围规定为两极限χ=-π和χ=π之间区域,因此z=exp(iχ)按逆时针方向行遍复平面上整个单位圆,从z=-1出发最后又回到z=-1。这样的变换可由下式给出t=tan(χ/2)。
这个特殊变换的一个好处是它全纯地扩展到了整个黎曼球面,我们前面就考虑过这个变换,它把单位圆(z平面)变成实直线。z平面上单位圆的内部对应于t平面的上半部,z单位圆的外部对应于t平面的下半部。因此,t的正频率函数是那些全纯扩展到t的下半平面的函数,负频率函数则全纯扩展到t的上半平面。但技术上有一点需要额外考虑,这就是t平面的“∞”。但如果我们是在黎曼球面上考虑问题,而不是在复t平面上考虑问题,则这一点很容易处理。例如,将这一点当作无穷远点。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:49:33 | 显示全部楼层

量子力学里能量的正定性

 
现在我们回到那条最终促使我们在相对论量子理论中提出反粒子要求的道路上来。我们需要比以往更深刻的视角来检验量子理论的框架。首先,我们回顾一下薛定谔方程的基本形式,假定我们要求量子系统有确定的能量值E,使得ψ是本征值E的能量本征态;就是说(因为Ĥ是定义在系统总能量上的算符),我们要求Ĥψ=Eψ。
按照量子力学的R过程,这种态ψ是我们对系统进行测量的结果,这种测量要求回答的是“你的能量是什么?”问题,得到的具体答案是“E”。于是薛定谔方程的解的形式为:ψ=Cexp(-iEt/ħ),这里C是与时间t无关的量(例如,仅为空间变量的复函数)。现在,能量E为正数很重要。在量子力学里负能态往往“不是好事”,它们会导致灾难性的不稳定性。

如果能量E确为正的,则Cexp(-iEt/ħ)的指数中t的系数-iE/ħ为i的负整数倍,这种性质的函数ψ(t)或这类函数的线性组合都具有正频率(这有点儿让人迷惑)。从黎曼球面的频率剖分我们可知,一个(实变量x)函数f(x)可按完全不同的方式(即根据黎曼球面几何)剖分为正的和负的频率分支。这里我们可以将它作为一种优美的纯数学对象来处理。
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