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[资料] 广义相对论和微分几何

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cxymath 发表于 2012-8-25 09:44:08 | 显示全部楼层
 
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henryharry2 发表于 2012-8-28 11:34:09 | 显示全部楼层

从可见光到电磁张量

 
相对论到底是什么呢?它一般被认为是以下三个理论:(1)时间和空间的理论;(2)能量和质量的理论;(3)引力与物质的理论。也许可以同时认为广义相对论是:(4)几何光学。几何光学的背后是著名的费马原理。这个原理说:光线从A点跑到B点,总花费最短的时间。这个费马原理是一种奇特的伟大,因为他用了一种上帝的语言。很多平面几何的题目可以由它迅速得到。甚至于最速降线的方程,也可以用光线在变折射率介质中的运动来求出。
一个长方体的长宽高分别是12,13,23。一个蚂蚁从底面的a点爬到侧面的b点,蚂蚁能爬的最短距离是多少。这个问题当然很简单,你可以把长方体的表面展开,成为一个平面。如果是圆柱面,这个问题同样可以解答。但如果是球面,就不是那么简单了,因为你无法把一个球面展平了,于是你想要去计算这个蚂蚁从球面上a点爬到b点所需要的最短距离的时候,你陷入了僵局。
这个僵局完全可以用几何光学来处理,你可以让光线在球面上传播,但是你知道光线很难沿着球面前进,如果可以,也许必然需要引力的作用,把光线限制在球面上——这大约就是相对论了。费马原理天生就是一个相对论的原理,原因是光线天生就是相对论的。换一句话来讲,光子跑过的时间乘上光的速度,总等于它走过的路程,无论在谁看来,全一样。 本书将强调光线在相对论中的独特作用,主要的参考文献是彭罗斯和林德勒的《旋量和时空》,这需要很漫长的时间来阐释。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:34:48 | 显示全部楼层

二分量旋量

 
我们绕过爱因斯坦,直接找到了彭罗斯。在相对论历史上,存在一个彭罗斯主义,这个主义的基本出发点是:“在四维时空,几何光线的切矢量是类光矢量,二分量旋量正好是类光矢量的平方根”。
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(图片:类光矢量是二分量旋量的平方 李广霞/画)
二分量旋量就是彭罗斯的广义相对论。广义相对论中,虽然几何学反映物质的分布,但几何里含有更多的信息,这更多的信息就是引力。因为引力就是黎曼曲率,但黎曼曲率中真正反映物质的自由度的是里奇张量,而反映引力自由度的是Weyl张量。总之,现在需要知道:(1)二分量旋量正好是类光矢量的平方根;(2)可以把所有的曲率张量写成简洁优美的二分量旋量形式。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:35:20 | 显示全部楼层

从可见光到电磁张量

 
时空结构是由物质分布决定的,但它可以通过上面的类光测地线的性质来描述。哥腾伯格-塞司(Goldberg-Sachs)定理从类光测地线汇可以推论出Weyl张量的代数性质。塞司是一个相对论学家,他和一个华人数学家伍洪熙合写了一本相对论的书,书名叫《给数学家讲广义相对论》。Goldberg-Sachs定理是一个代数定理,它涉及Weyl张量的代数性质。因为Weyl张量是一个具有四个指标的张量,比较复杂。我们可以首先看看比较简单的电磁张量F[sub]ab[/sub],F[sub]ab[/sub]具有2个指标,是一个2形式场。
先不考虑弯曲时空,在平坦时空上一个电磁场,它的电场和磁场可以组成一个4乘4的反对称矩阵。这个4乘4的反对称矩阵,就是电磁张量在坐标系下的表现。众所周知,一个点电荷的静电场在另外一个有速度的观察者看来,不但有电场,还有磁场。但我们知道,无论这个运动的观察者的速度有大,他不可能只看到磁场不看到电场。这就是一个重要的结论,在洛仑兹变换下,电场的平方减去磁场的平方是一个洛仑兹不变量。这个不变量可以用电磁张量的自我缩并来实现。
张量的自我缩并是一个标量,天生就具有洛仑兹不变性,也就是说,这个结果是不依赖于观察者的。因此,电场和磁场是依赖于观察者的,而它们组成的电磁张量是一个绝对客观的东西。为了得到另外一个不依赖于观察者的量,但我们先要介绍一个概念,那就是霍奇对偶。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:35:50 | 显示全部楼层

霍奇对偶

 
霍奇对偶是微分几何里的重要的概念,它总是在m维流形上定义,把一个p形式对应为一个(m-p)形式。在4维中,因为电磁场是2形式,因此其对偶形式也是2形式。这就有意想不到的好处。因此,某个4乘4的反对称矩阵,就是电磁张量在坐标系下的表现。如果你交换矩阵中电场和磁场的位置,再适当添加负号,就可以得到这个电磁张量的对偶张量在坐标系下的表现。
做完这些,你有了2个4乘4的反对称矩阵。你把它们分别叫做矩阵甲和矩阵乙。现在你可以让矩阵甲和矩阵乙相乘,然后取结果矩阵的迹。这就是一个另外的洛仑兹不变量:电场和磁场的乘积。那么我们之前的不变量——电场的平方减去磁场的平方是什么呢?它不是别的东西,正是矩阵甲和矩阵甲相乘以后取结果矩阵的迹。因此,我们得到了电磁场的2个洛仑兹不变量:
1.电场的平方减去磁场的平方。2.电场和磁场的乘积。
物理学家关心的是那些不依赖于观察者的东西,所有这些跟参考系无关的物理量,称为张量。电场和磁场可以相互转化,但它们作为一个整体,就是电磁场强张量。那么,考虑本征方程如下:F A=f A ,如果矢量A存在的话,显然A是一个类光矢量,本征值f是非零的复数。这无非是说,如果把电磁场强张量看成一个矩阵的话,那么它有特征向量,这个特征向量的长度是0,或者说零模矢量,类光矢量。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:36:24 | 显示全部楼层

Weyl张量

 
因此来一个简单的总结,电磁场张量F[sub]ab[/sub]它有一个对偶场,当然就是霍奇(hodge)对偶*算子作用一下。因为时空是4维的,所以F[sub]ab[/sub]对偶场*F[sub]ab[/sub]也是一个2形式场。再次用霍奇(hodge)对偶*算子作用一下*Fab,我们得到一个非常重要的自对偶瞬子方程**F[sub]ab[/sub]=-F[sub]ab[/sub]。由此可见在平坦时空上霍奇*算子的平方的特征值是-1。所以*算子的特征值是+i或者-i。这预示了,量子化以后,电磁场光子的螺旋度是s=1霍奇(hodge)对偶*算子正好是螺旋度算子。
所有的代数结论全可以用旋量语言重新描述。从几何光学到电磁张量的历史变迁吸引了很多人。引力场和电磁场是2种长程力,把它们几何化的尝试在爱因斯坦的最后岁月里一直没有中止。虽然爱因斯坦得诺贝尔奖的原因在于光的粒子性,但他一辈子最希望实现的是把光子融入几何化的背景里。
粗略地说,潮汐力量起源于外尔张量,外尔张量是黎曼曲率张量的一部分。因为黎曼曲率可以被分解。彭罗斯把这分解写成科普的形式,让大家很容易记住:黎曼=里奇+Weyl。电梯里的一个气球,会被引力的潮汐力(Weyl张量)拉成一个椭球面,原因是引力场不是完全均匀的。里奇张量在引力场中的效果是使得物体朝引力源下落,而Weyl张量使得物体被拉伸,或者扭曲——这个就是潮汐力,它不是牛顿引力那样的平方反比的,而立方反比。当然这是在四维时空中的情景,假如在二维或者三维时空中(当爱因斯坦方程成立)Weyl张量是不存在的。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:38:08 | 显示全部楼层

线性引力场

 
一般说来,从相对论的角度大体可以把微分几何分成以下四块:
1、张量场;2、微分形式;3、旋量分析;4、偏微分方程和泛函分析。
里奇在第一块领域做出重要的业绩。而第二块领域的鼻祖是嘉当,陈省身。第三块领域的鼻祖当然就是彭罗斯,虽然欧拉曾经在三维空间引进旋量,而嘉当在四维时空引进了旋量。第四块领域,当然是首推丘成桐。里奇张量是黎曼张量中的含迹部分。而外尔张量则为黎曼张量中的不含迹部分。
这里,我们要讨论一下里奇张量。你还记得,用爱丁顿的方法,我们可以将里奇分解成:里奇=反对称+对称,反对称相当于电磁场强张量,我们将对称部分等同于牛顿引力场强。这样,利用点-线对偶性,我们就可以解释引力的光线偏折现象,将引力的光线偏折一半归因于引力电、一半归因于引力磁效应。其实,利用点-线对偶性还可以解决扭量理论的一个大问题,即扭量与广义相对论到底是什么关系?现在我们利用两种线性引力场(地球人都知道:牛顿引力场当然是线性场;扭量理论也是一种将Weyl张量线性化的场)也可以解释广义相对论预言的所有效应;另一方面我们认为,既然扭量理论已经发展到了射影空间,不利用一下射影空间的点-线对偶性简直是一种浪费。这里,牛顿扮演着点的角色,而彭罗斯的线汇扮演着线的角色。换句话说,我们得到了经典引力和量子引力世界里最重要的公式:
牛顿+彭罗斯=爱因斯坦。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:38:44 | 显示全部楼层

伽利略原理下的时空相对性

 
现在我们来看看,对于伽利略于1638年引入的动力学框架来说,什么样的时空概念是适当的。但愿我们能把伽利略相对性原理结合进时空图像里。我们来看看这条原理是怎么叙述的。最好的方法就是援引伽利略本人的叙述的译文节选,我建立懂原文的读者去查看一下这段引文的全部:
将你自己、一位朋友和几只苍蝇、蝴蝶或其他会飞的小动物一并关在一艘大般的甲板下的船舱内……天花板上吊一只瓶子,使瓶内液滴逐滴滴入正下方的容器内……让船以任意速度匀速地行驶并保证没有任何速度快慢上的波动……尽管液滴在空中下落的过程中船已向前行驶了一段距离,但液滴还是落入下方的容器内,丝毫不偏向船尾……蝴蝶和苍蝇仍是无拘无束地飞向各个地方,看不出任何因疲劳跟不上船的行驶而向船尾集中的迹象……
这里伽利略告诉我们的是,在任何匀速运动的参照系下,动力学规律都精确地一致。(这是他笃信哥白尼学说的基本信条,这个学说认为,与早先亚里士多德理论的地球必须保持静态的认识相反,地球始终处于运动中,不论我们是否注意到这一点。) 没什么东西可以将静态下的物理与匀速运动状态下的物理区分开来。由此我们知道,说一个特定空间点在以后的时间里还是不是选定的空间同一点,这在动力学上毫无意义。换句话说,在这里用银幕类比并不恰当!不存在时间演化中保持不变的背景空间——“银幕”。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:40:08 | 显示全部楼层

伽利略原理下的时空相对性

 
为了更有力地说明这个问题,我们来考虑地球的转动。按这种运动,地表上(譬如说,在北京所在位置的纬度上)某一固定点每分钟约移动17公里。相应地,我们刚刚选定的点p现在将被移至邻近的通县的附近或更远。但且慢!我这里还没将地球的绕日运动考虑进去。如果考虑这种运动,那么我们发现p点会远出去一百多倍距离,而且是在相反方向(因为在午后,地表上该点的运动方向与地球公转方向相反),同时地球离开p点是如此遥远以至p点已移出地球的大气层!但是我是否应该考虑太阳绕银河系中心的运动?或考虑所谓银河系本身在本星系群内的“自行”?或考虑本星系群关于室女星团中心的运动(前者只是后者中的一小部分),还有室女星团相对于巨大的后发超级星系团的运动,甚至后发星系团向“巨引力源”的移动?显然,我们应当认真对待伽利略理论。所谓空间一特定点过了一分钟后还是我们所选定的同一空间点这种概念没有任何意义。
地球的公转速度是每秒30公里,太阳绕银河系的公转速度是每秒220公里……,你会发现速度似乎越来越快;爱因斯坦早年有个直觉,认为宇宙中的万物都在绕着苍穹下某个巨大的引力源旋转。事实上,正是通过与旋转木马的类比,爱因斯坦发现了广义相对论。如果我们以极高的速度绕着宇宙的某个中心旋转,那么一点也不奇怪;按照爱因斯坦早期的宇宙模型,宇宙有一个中心,当然宇宙的中心并不在宇宙之内,正如三维球面的中心并不在三维球面之内一样。如果你相信宇宙大爆炸理论,那么宇宙的中心有可能就是那个大爆炸的奇点,但是我们并不相信宇宙大爆炸理论;按照我们的准稳恒态宇宙观,哈勃红移的真实起因正是如此,因为光子感受到的引力是有质量物体的一倍——哈勃红移是引力红移。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-28 11:40:43 | 显示全部楼层

广义相对论

 
时空弯曲的程度,是由于宇宙中物质的分布所决定的:一个区域内的物质密度越大,时空的曲率也就越大。这样太阳附近的时空就要比地球附近弯曲得利害,因为太阳的质量要大得多。广义相对论的宇宙中,引力已不再像以前我们理解的那样是一种力,它已经被转化到时空的几何(曲率)中去了。用爱因斯坦的新观点来看,可以说,引力产生于从狭义相对论的平直空间到广义相对论的弯曲空间的转换之中。
第一个例子是有关水星——它是离太阳最近的行星——轨道的一个很小但很重要的细节。虽然爱因斯坦在推导相对论的时候,几乎没有考虑到这个问题,但它却成了对他的新理论的一次辉煌验证。按照牛顿力学,一个单独绕太阳运转的行星,它的轨道应当是一个精确的闭合椭圆,并且轨道的近日点也是固定的(近日点是行星轨道上离太阳最近的一点)。但是水星轨道的问题是,它的近日点不是固定的。其它行星的引力,以及太阳系里小行星带的引力,加在一起使水星轨道受到一个很小的附加影响,它使得轨道产生进动,亦即近日点随着时间逐渐“前移”,在三百万年内移动一周。但是,除了所有已知的引力影响外,还有一个完全解释不了的附加进动——所以称为“异常进动”——根据天文学家们的观测,它仅仅是每世纪43 弧秒。在爱因斯坦以前,这个异常进动被认为是由一颗未被发现的行星引起的。但是爱因斯坦用广义相对论产生的时空曲率,算出了这个附加的进动值,正好是每世纪43 弧秒。近来,其它一些行星的这种近日点“异常”进动也被测量出了。在观测误差范围之内,它们的值也同样与广义相对论算出的值相吻合。
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