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[资料] 广义相对论和微分几何

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henryharry2 发表于 2012-8-24 13:14:03 | 显示全部楼层

正质量猜测,极小曲面

 
格罗赫的这个猜测落到微分几何的王国中;Schoen与丘成桐首先证明了它,证明的思想是利用闭的极小曲面。事实上,从面积的第二变分的公式可见,在一个具正数量曲率的三维紧致定向黎曼流形中,一个具有正亏格的闭极小曲面是不稳定的,就是说在微扰下它的面积还会变小。另一方面,三维环面有一个大的基本群(同构于ZÅZÅZ),并且它的第二个Betti数等于3。这些拓扑性质应导出在非零的闭曲面同伦类中存在一个具有最小面积的闭正则曲面。这是下述结果的推广:在紧致黎曼流形上,每个非零的闭曲线同伦类中有一条最短的光滑闭测地线。对于极小曲面,相应结果的证明当然更为微妙。Schoen与丘成桐接着就证明了极大超曲面的正质量猜测。稍后这个结果被推广到高维去。
这些发展接触到极小曲面和正数量曲率流形,这些课题对微分几何学者来说是很亲切的。
极小曲面的早期研究集中于普拉托(Plateau)问题:给定三维实数欧氏空间中一闭曲线,要找出它所围成的面积最小的曲面。只是近年来,注意力才指向研究一个给定流形(例如n维欧氏空间或n维单位球)中的闭的或完备的极小曲面。这些研究推广了闭测地线的性质,它们在黎曼流形的几何学与拓扑学中已处于重要的地位。闭的与完备的极小曲面,特别是正则曲面,必须是一个更丰富的甚至更有趣的对象。将极大超曲面取为数据集是很自然的。最近,J. Sachs和K. Uhlenbeck证明了:一个紧致单连通的黎曼流形中总可浸入一个极小的二维球。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:14:31 | 显示全部楼层

规范场理论

 
1918年,H. Weyl在他的《引力和电》一文中提出了规范场理论。其思想是运用一个二次微分形式及一个线性微分形式φ来定义。但是这两个形式还容许规范变换:φ—○φ+dlog(λ),这里φ是电磁势,它的外微分dφ是电磁场强度或法拉第(因为法拉第对电磁学的贡献,他的名字就用作电磁场强度),为了体现线性量子场论的特点,我们用线性逻辑的“棒棒糖” —○代替了箭头,这是统一场论最初的尝试。
爱因斯坦反对二次微分形式的不定性,但对Weyl的建议的深刻与大胆表示了赞赏。如果我们将Weyl的理论解释为基于洛伦兹流形上的圆丛的几何学,则当时及其后的所有反对意见都会消失。于是容许规范变换的形式φ可以视为在圆丛上所定义的联络,并且二次微分形式保持不变,这就消除了爱因斯坦的反对意见。
规范场理论的数学基础在于向量丛及其上的联络。纤维丛或纤维空间的概念具有整体的特性,由拓扑而产生。最初它是寻找流形的新例子的一个尝试(H. Hotelling, 1925;H. Seifert,1932)。纤维空间是局部的乘积空间而不是整体的乘积空间,这种区别的存在是一个奥妙的数学事实。一直到发现了对纤维丛作出区别的不变量,甚至于证明了整体存在着非平凡的纤维丛时,纤维丛理论才得到发展。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:16:08 | 显示全部楼层

爱因斯坦流形

 
我们知道,核子中不但有吸引力场,实验证明核力还有一个排斥芯;很明显这种吸引与排斥都不是动态场,而是一种准静态场。这里你可以看出广义相对论的问题了,暗物质和暗能量的场类似于核子中的吸引与排斥场;例如,按照我们的分析,银河系中由暗物质(我们认为是光子)构成的场就是一种准静态场,暗物质和暗能量场都应该是准静态场,而广义相对论无法描述准静态场,只能描述动态场。
如果不考虑宇宙学常数,在时空上某点没有物质,那么这点的里奇张量为0。如果要考虑里奇张量和度量张量在每一点上成正比的情景:R[sub]ab[/sub]=Cg[sub]ab[/sub]。在这里,C就是比例常数。这个常数几乎就是现在的物理学家嘴巴里经常嘟囔的宇宙学常数。满足这个关系的流形叫做爱因斯坦流形,这时候的度量g[sub]ab[/sub]就叫做爱因斯坦度量。
一开始,爱因斯坦方程是不带有宇宙项的,但后来爱因斯坦为了得到永恒不变的宇宙加入了宇宙项。爱因斯坦加了宇宙项以后,对自己所加上去的宇宙项的热情不断消退,但德西特教授把爱因斯坦方程放到最大对称的流形之上,就得到了德西特宇宙,这是一个没有物质只有宇宙学常数的时空,因此德西特宇宙也满足R[sub]ab[/sub]=Cg[sub]ab[/sub],其中C是常数,于是,事情就变得很有意思。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:16:40 | 显示全部楼层

Seiberg-Witten理论

 
在数学上,满足R[sub]ab[/sub]=Cg[sub]ab[/sub]的流形就是爱因斯坦流形。很重要的一点,并不是任意流形上都能够赋予爱因斯坦度量,这是因为背后有拓扑限制,正如在紧致流形上不一定能赋予洛伦兹度量。所以,把一个四维球面当作一个“时空”是一件值得嘲笑的事,虽然霍金可以在虚时间里实现这个时空。在这个书里面,已经说过,“时空”要求其欧拉数为0,四维球面的欧拉数是2;简化量子场论中,将洛伦兹收缩都吸收到了齐次坐标轴上,从而是简单的四维转动群SO(4)群,可以形成爱因斯坦流形,天生就包含了瞬子解。爱因斯坦流形天然地吸引了数学家,因为它有很美的性质,比如它的无迹Ricci张量天然退化。这在四维流形和Seiberg-Witten理论研究中是一个方便的地方。
1994年,SeibergWitten证明了磁单极子的真空凝聚可以给出夸克禁闭效应。在N=2的超对称规范理论中,磁单极的性质随着理论中参数的变化,相互作用强度越来越大,磁单极子将转换成质量为0的粒子;也就是说,磁单极子的质量随真空态变化;在某些真空态下,会变成无质量的,从而可以产生磁单极子的凝聚。在电磁场的对偶理论中电荷与磁单极是相互对偶的;夸克禁闭可类比通常的超导现象,这时两个磁单极子可以结合成为一对给出质量的规范场而形成能隙,在类超导理论中,这就导致电通量禁闭;电通量是由带电夸克给出的,电通量的禁闭给出夸克禁闭。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:17:13 | 显示全部楼层

轴单极子凝聚

 
希钦(Hitchin)和Thorpe分别的工作对四维流形上爱因斯坦度量的存在给出了拓扑的限制,这个限制是一个不等式。这个拓扑限制对几何学家来说是自然的,但要证明他们不是一件简单的事情。对于相对论来说,对于爱因斯坦流形的数学兴趣不大,但德西特时空正是爱因斯坦流形,德西特时空对物理学家来说,却是一个巨大的蛋糕。
实际上发生的过程是轴单极子凝聚,所以Seiberg-Witten理论用于强相互作用并不合适。但我们发现将Seiberg-Witten理论用于原子核却可以得到一个非常有趣的模型。原子核中确实存在一种超对称性,只需假设核子与π介子的质量相同,从而费米子与玻色子(π介子)对偶——你看这就是传说中的超对称性——这与南部假设π介子质量为零的那个自发破缺理论是互补的。
实际上,由极矢量和轴矢量的对偶性、以及轴矢量的自对偶性,可以从数学上推导出超对称性。可以说,Seiberg-Witten理论只是一种空想;而我们的理论却得到了实验的证实。由电磁对偶性可以推导出轴单极子——不是磁单极子的存在,原因是极矢量和轴矢量服从不同的相对论,电荷是Lorentz标量,而轴单极子是保持质心不变的变换。原子核物理中,液滴模型、壳层模型中的极强的自旋-轨道耦合效应以及集体模型中的Jahn-Teller效应都是轴单极子凝聚产生的物理效应。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:17:56 | 显示全部楼层

扭量(twistor)

 
广义相对论是一副绝世名画,当很多人欣赏这个画的时候,有的人看不太懂。而相对论的历史发展却不能停止,当代还活着的广义相对论画家中,彭罗斯却一意孤行,有了很高的见地。从他的旋量手法出发,他几乎一个人做出了扭量(twistor),这是一个曲高和寡的计划。在扭量计划中,一直以来物理学家习惯的时空点不再是最基本的,光线取代了时空点的地位。
会画画的人多数知道射影几何。当一个画家站在野外写生的时候,画板竖立在面前,画家看到一对平行的铁路线,当在画在纸上的时候,所有跟铁路一起平行的线应该在纸上交于一个点的。光线是世界上最重要的因素。在前面已经看到,上帝说要有光,于是就有了光。同时,人类是有眼睛的生物,眼睛是最伟大的生物器官之一,眼睛能够对光线做傅里叶变换,使得我们看到的世界是五颜六色的。
人的眼睛是很重要的,这是审美的工具,也是这个世界有意义的大部分理由。一条光线从远处跑来,它一路经过了很多时空点,但在视网膜上仅仅是同一点。在扭量计划中,通俗地讲,视网膜相当于扭量空间。所以,眼睛是心灵的窗户,这句话背后完全有数学的基础。人类通过讲废话达到相互确认,但心灵上总是感觉空虚,这原因在于,多数废话背后没有数学的基础。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:18:25 | 显示全部楼层

四元数

 
在闵氏时空有一个点R,也称为一个事件(event),当选择好一个参考点作为原点后,需要(t,x,y,z)四个实数来刻画。而这个点的四个实数相对于一个原点,构成了一个四维矢量。这个四矢量背后,有一个美丽的故事。对于三维矢量,矢量之间可以定义叉乘,矢量A和矢量B的叉乘的几何意义是以矢量A和矢量B为邻边的平行四边形的有向面积,方向与A和B都垂直。这不是一件平庸的事情。也仅仅在三维中,一个矢量和另外一个矢量的叉乘,得到的还是一个三维矢量。
威廉•哈密顿,历史上最伟大的数学家之一。1805年8月3日,他出生于爱尔兰的都柏林,1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。14岁时就学会了12种欧洲语言。13岁就开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17岁时掌握了微积分,并在光学中有所发现——总之,这一切全可以归结为哈密顿——雅可比方程。22岁时他大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授,同时获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号。哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就,他是一位勤奋工作而酷爱真理的人,换句话说,他从来不渴望与真理擦肩而过。
四元数是由哈密顿在 1843年爱尔兰发现的。在通往数学的自由或者奴役的道路之上,哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲,它就是非相对论性自旋的泡利矩阵,有了泡利矩阵,就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应,而有了泡利矩阵,才有了扭量,这亦是自然的事情。另一方面,我们发现的左手以及右手螺旋群与四元数也是同构的。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:18:56 | 显示全部楼层

四元数

 
当时哈密顿正研究扩展复数到更高的维次(复数可视为平面上的点)。他不能做到三维空间的例子,但四维则造出四元数。哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数:一个标量(a)和向量(bi + cj + dk)的组合。根据四元数的乘法表,它将复数作为特殊形式包含在自身之中,它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立,哈密顿为此考虑了十几年,最后直觉地想到:必须牺牲交换律,于是第一个非交换律的代数诞生了,在以前的乘法中,乘法是交换的,比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1×2=2×1,但这背后其实埋藏无穷秘密。哈密顿的这个创造,把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来,人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造,这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃,现代抽象代数的闸门被打开了。
我们知道,SO(n)群中,只有SO(4)不是单李群。也只有在4维之上,霍奇算子能把曲率映为曲率。也只有在4维欧空间之上,唐纳森发现了无穷多微分结构。圈量子引力被人诟病,因为它不能回答为什么时空是4维的。在19世纪到20世纪,哈密顿之后,物理学家洛仑兹写了一本很薄的书,书的名字是《电子论》,当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情,虽然洛仑次不是最出色的,但人们应该注意到,在洛仑兹力公式中出现了点乘与叉乘。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:19:31 | 显示全部楼层

柯里福德(clifford)代数

 
我们知道一个3矢量与一个3矢量的叉乘,但不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢?格拉斯曼(Grasmann)生于德国Stettin(今属波兰),曾经在柏林大学攻读神学,哥廷根大学没落之后,柏林大学似乎已经成为德国最出色的大学。格拉斯曼大学毕业后长期在家乡中学任教,业余从事科学研究,成为梵文权威和数学家——现在中国的很多中学教师,因为工作太辛苦,除了创造人类,已经几乎没有别的时间来发明新的数学。1844年格拉斯曼发表《线性扩张论》。建立了所谓的“扩张的量”(即有n个分量的超复数)的概念和运算法则,其中包括了非交换乘法和n维空间的重要思想,形成了张量理论的初步思想。格拉斯曼代数又叫外代数,超对称代数就是由庞加莱代数与外代数组成的。
柯里福德(clifford)代数已经是当代数学家讲旋量必须的出发点之一。n维矢量空间上的外代数和n维矢量空间(含内积)上面的柯里福德代数具有相同维数,全部是2的n次方维。这样的话,作为有限维的矢量空间,它们是同构的。但作为代数,它们不是一样的事情。柯里福德代数比外代数复杂一点,或者说,前者是后者的量子化或者畸变。
总的来说,外代数很重要,因为外微分很重要。柯里福德代数很重要,因为我们有复数,有四元数,我们希望推广到更加高的维数,但一般的代数,到了8元数就终结了,要找新的代数,只能去发现柯里福德代数了。旋量最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切,但也可以说与柯里福德代数关系密切。物理学家比如喀兴林教授编写的《高等量子力学》把狄拉克矩阵乘起来的16个矩阵叫做狄拉克群,其实这就是一个柯里福德代数。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-24 13:19:57 | 显示全部楼层

扭量

 
旋量具体来说就是n维度量空间上的正交群的表示。最简单的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了,其最低维的双值表示便是二维的旋量表示,它也是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间,当维数为6时,SO(2,4)的旋量表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量,那么扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢?对应的关键在于把四个泡利矩阵写出来,然后把四矢量的第i个分量和第i个泡利矩阵相乘,求得得到一个4×4的矩阵。这个矩阵对数学家们是不陌生的,尤其是中国的数学家。
在这个对应方程里, Z[sup]0[/sup], Z[sup]1[/sup], Z[sup]2[/sup], Z[sup]3[/sup]全是复数,所以一个扭量就是四个复数,扭量空间就是四维复平面,但考虑到等价类,就可以得到射影扭量空间,这与前面讲的电子自旋和黎曼球面是类似的。对应方程,顾名思义是把一个时空点对应成为一个扭量,一个时空点在射影空间中被对应为一个黎曼球面,一条光线在射影扭量空间中被对应为一个点。扭量理论中最重要的是光线,光线最重要。
对对应方程求导一次,就可以得到扭量方程。在广义相对论中,光线是以光速运动的无质量粒子的世界线。而在扭量理论中,我们还可以考虑这个无质量粒子的自旋。对于多数人来说,光线意味着光明。对于搞光导纤维的物理学家来说,光线有不同的相位差,有不同的模式。对经典广义相对论学家来说,光线意味着光线在引力场中扭转,意味着光线可以取代时空点。我们认为,时空点代表牛顿引力,可以通过射影空间中的点-线对偶性将牛顿引力和代表Weyl张量的扭量理论对偶起来。
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