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[资料] 熵的世界3

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henryharry2 发表于 2012-8-16 12:11:29 | 显示全部楼层

改弦易辙——量子统计

 
现在让我们来考虑在一个大体积V中,有大数量(N)的粒子自由而独立地运动,按照经典统计,能量为E粒子数等于n(E)=常数×exp(-E/kT),画出来就是图8.8(a)。如果考虑能级是量子化的,但粒子的分布仍按经典统计来计算。那么,处于能量为E[sub]i[/sub]能级上的粒子数为常数×exp(-E[sub]i[/sub]/kT),和上式并没有明显的差异。对于不可区分的粒子,结果就完全不同。费米统计遵循泡利不相容原理,每一能态只允许有一个粒子,因此,在T=0,系统将处于能量最低状态,因而最低的N个能态被占,其中的最高能态为E[sub]F[/sub](称为费米能),当温度不等于零,若是kT<<E[sub]F[/sub],那么在部分低于E[sub]F[/sub]能态出现空缺,而高于E[sub]F[/sub]的若干能态部分被占,见图8.8(b)。至于玻色统计,每一能态粒子数可大于1,将如图8.8(c)所示。在低能区域n[sub]i[/sub]将大于经典统计的值。在T很大时,费米分布和玻色分布将和玻耳兹曼分布接近。
从历史上来看,能斯脱提出第三定律远在量子统计诞生之前。当时,他就坚持第三定律作为一条热力学的基本规律,应该不仅对凝聚态适用,对气体也应适用,提出气体简并性的理论。然而,这一点并不为他的同事和学生所理解,因为所有的气体在达到绝对零度之前,都已经凝结成液体或固体。现在我们知道确实存在有简并性的气体,或服从量子统计的气体,因而能斯脱的坚持并不是多余的,而是有其重要物理意义的。反过来,如果我们承认了量子统计的正确性,在T=0时,任何系统都应处于其最可能低的能态,即基态,其微观状态数只能等于1,因而熵必然等于零。这表明热力学第三定律无非是量子统计必然的推论。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:13:00 | 显示全部楼层

理想成真——量子气体的凝聚

 
按照量子力学,粒子具二象性:既具有微粒的特征,又具有波的特征。但在一定条件下,其波动性可能隐匿起来。可以采用简化的经典物理的观点,将它看做是一个小球来处理;反过来,若其波动性明显呈现,那么就必须采用量子力学来处理问题。我们不妨用光学的例子来予以说明。设想将一波长为λ的平行光束射向屏幕上开有直径为a的圆孔。假如λ<<a,波将沿直线通过该孔与小球射出的轨迹相似;但若λ≥a,平行光束将沿小孔散开来,演示了光的衍射(参看图8.9)。

由此可见,没有质量的光波,当不受尺度与波长相近似的障碍或孔缝的干扰时,其行为与微粒十分相似,这也是导致牛顿提出光的微粒说的经验依据。具有质量的实物粒子,如原子与电子,情况完全类似。上节已经谈到,在高温,两种量子统计都类同于经典的玻耳兹曼统计;而在零温,则存在明显的差别。接下来的问题就在于如何来估算高温与低温之间的界限,以及系统是如何演变过来的。
下面我们就将上述的道理作一简化的定量处理。按照德布罗意关系λ=h/mv,如果粒子间的平均间距a≤λ时,就应该明确地表现出其波动特征。按照能量均分定律,其动能=3kT/2,那么温度应满足条件T≤T[sub]0[/sub],这里的a与粒子密度有关,在固体或液体中,a约为0.2~0.3nm,而在气体中其值要大得多。T[sub]0[/sub]被称为简并温度:在低于简并温度T[sub]0[/sub]的温区内,才需要考虑粒子的量子力学特征。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:14:31 | 显示全部楼层

理想成真——量子气体的凝聚

 
粒子的质量是和T[sub]0[/sub]成反比的,对于电子,m约为10[sup]-30[/sup]kgT[sub]0[/sub]约为1K,因此在固体或液体中的电子,通常总能满足简并条件。对于原子,m约为A×1.6×10[sup]-27[/sup]kg(A为原子序数),在固体或液体中的原子T[sub]0[/sub]50/A,即只有在低温下才能满足简并条件;而气体中的原子由于a值较大,估算出来的T[sub]0[/sub]低到微K的量级;至于光子,其λ不受温度的影响,任意温度下都需要考虑其波动特征,也可以说T[sub]0[/sub]等于无穷大。
量子统计的不可区分性,要求粒子可以随便地交换位置,因而局域化的粒子,例如固体中原子是固定在格位附近,由于粒子所处的环境是可以辨识的,粒子本身的不区分性也就体现不出来了。所以量子统计的适用物质应是流体,即气体或液体。而质量数A愈小,量子特征也愈明显。而氢原子虽然质量最小,但容易结合成氢分子H[sub]2[/sub],在低温下也凝固成固体。剩下的就是氦原子,故氦的同位素,氦4与氦3,就成为量子液体的首选。至于粒子究竟是费米型的,还是玻色型的,就取决组成粒子的自旋的总和是整数还是半整数。
我们知道,原子是一定数量的核子(质子和中子的总和)以及外围的电子所构成的。单个的核子或电子的自旋均为1/2因此若原子的核子数加电子数的总和是奇数,是费米子;若是偶数,则是玻色子。据此可知,氦有2个电子,同位素He3个质子,1个中子,因而是费米子;而同位素41个中子,则是玻色子。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:15:01 | 显示全部楼层

理想成真——量子气体的凝聚

 
在T=0,玻色子气体与费米子气体出现完全不同的情况:为了尽可能降低能量,玻色子将全部占据E=0的能级(即基态);而费米子则不然。它遵循泡利不相容原理,每一能态只能有一对正负自旋的费米子所占据,为了达到能量的极小条件,一对对电子只能循级而占,直到最高的被占能级——即费米能级。由于粒子数甚大,能级的台阶甚小,因而可以看成为能级作连续的分布。如果考虑在T[sub]0[/sub]情况下粒子群在三维的动量空间中的分布:玻色粒子群集在一点,即在动量空间的零点;而费米子则均匀地分布在一个球面之内,球面的半径为费米动量,球面对应的能量为费米能。但这两种类型的分布都是唯一的,根据玻耳兹曼关系式,它们的熵都为零。符合热力学第三定律的要求,都是一种特殊的有序相,具有动量序或波序。
对于费米气体,在T[sub]0[/sub]附近量子简并态的出现,是通过缓变的过程逐步实现的,并不存在一个明确的相变温度。而玻色气体则不然,存在一个非常明确的临界温度T[sub]c[/sub],当降温到T[sub]c[/sub],将有宏观数目的粒子占据了能量为零的基态。通过更加正确的计算,可以求得T[sub]c[/sub],这里的n为粒子数的密度。
玻色-爱因斯坦凝聚的理论是爱因斯坦在1925年提出的,应该强调一下,这里采用凝聚这一名词是带有类比性的说法:通常的气体凝聚成液体,是在位置空间中的凝聚,凝聚体与未凝聚的气体之间有明确的界面;而这里所说的玻色气体的凝聚则是在动量空间中的凝聚,凝聚体与气体之间并无明确的界面,在位置空间中是混杂在一起的。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:15:32 | 显示全部楼层

理想成真——量子气体的凝聚

 
这一理论描述的是理想玻色气体的行为。但自然界不存在理想气体,最近似的是由中性原子构成的稀薄气体,虽则原子间还存在微弱的相互作用力,估计影响不大。但是在常态中冷却到低温,气体都凝结为液体或固体,只有到1985年激光致冷技术发展之后,在稀薄气体中实现玻色-爱因斯坦凝聚方始存在了可能性,从而成为许多科学家奋斗的目标。这场竞赛的冠军为美国科罗拉多大学与国家标准局的康乃耳(E.Cornell)与惠曼(C.Wieman)研究组所摘取。他们采用激光致冷再加蒸发致冷消除动能较高的原子,使处于磁阱中的铷87的稀薄原子气体,冷凝到0.5~2微K的量级,首先实现了玻色-爱因斯坦凝聚。
随后在钠23,锂7,氢1等一系列稀薄原子气体中实现了这一凝聚。值得注意的是,最初为人们看好自旋极化的氢1原子气体,由于质量最轻,因而相变温度T[sub]c[/sub]最高。但事与愿违,摘取桂冠的竟是相当重的原子铷87。原因是氢的光谱线结构不如碱金属的丰富,激光致冷的效果较差,从而导致在竞争中失利。开特莱(W. Ketterle)在钠23原子气体中做出了突出的工作,并导出了等同的钠原子组成的相干原子束,被称为原子激射束,和激光束有类同之处。因而,康乃耳、惠曼和开特莱三人共同获得了2001年的诺贝尔物理奖。实验的结果可以用图8.12所显示的在T[sub]c[/sub]温度上下的原子速度分布来表示(高度表示粒子数)。图中从左到右三个峰,分别表示T>T[sub]c[/sub],T~T[sub]c[/sub]和T<T[sub]c[/sub]的三种情形。左侧的峰表示了T[sub]c[/sub]以上的情况,宽阔的山头分布代表正常气体的玻耳兹曼分布;中间表示恰好低于T[sub]c[/sub]情况,零值附近的尖峰代表了凝聚体部分;右侧是远在T[sub]c[/sub]以下的情况,几乎所有的分子都聚于尖峰之内,这样就非常直观地显示了玻色凝聚现象。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:16:12 | 显示全部楼层

世纪疑谜——超导性与超流性

 
在温度下降,熵向零趋近的道路上,发现了一系列奇妙的、富有戏剧性的物理现象,如超导性与超流性,引起了科学界的广泛关注。由之而生的新现象更是层出不穷! 称之为世纪疑谜,并不为过。
早在1911年,首先使氦液化的昂内斯研究金属的电阻率随温度降低而产生的变化,观测到正常金属电阻率随温度下降而减小,最后趋于剩余电阻率,其数值取决于试样中的杂质浓度。但他在研究水银电阻率时,却发现了在液氦温度处,电阻率突然降为零,即电阻完全丧失,见图8.13。这一现象被称为超导电性。后来又在其他的金属(如铅等)中发现了类似现象,虽则其转变的临界温度T[sub]c[/sub]之值各不相同。他还将一铅环降温到T[sub]c[/sub]以下,在其中用磁感应诱发电流,演示可持续几个星期而不衰减,据此可以估计出电阻率值不大于10[sup]-25[/sup]Ω•cm,和室温下铜的电阻率1.6×10[sup]-6[/sup]Ω•cm相对比,反映了超导体具有“零”电阻的特征。

电阻为零仅是超导电性的一个特征。超导电性之另一主要特征是迈斯纳(W. Meissner)在1935年发现的。即,超导电体也是完全的抗磁体,在其内部B=0。如果在磁场作用下,物体降温进入超导态,那么所有的磁通线均要被排出。1935年,伦敦兄弟(F.和H. London)据迈斯纳效应提出描述超导体电动力学性质的伦敦方程,并认为超导体呈现了动量空间的长程序这一有预见性的观点。[/sub]
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:16:39 | 显示全部楼层

世纪疑谜——超导性与超流性

 
1932年:荷兰科学家开索姆(W.H. Keesom)等发现,氦4的比热曲线在2.2K处出现λ形状的峰,它也和氦4的最大值相对应,见图8.14。这意味着氦的物性在这一温度发生了根本性的变化。但究竟是什么性质在变化,当时还不能肯定。X射线衍射结果表明T[sub]λ[/sub]的上下均为液态。他们就称T[sub]λ[/sub]以上的液氦为He I,在T[sub]λ[/sub]以下的液氦为氦II。1936年英国的爱仑(J.Allen)与前苏联的卡皮查对于氦II的物性进行了深入的研究,发现HeⅡ的特征在于液体的黏滞性丧失殆尽,从而呈现许多令人惊讶不止的奇妙性质。例如,如果将He II盛在开口烧杯之中,可以沿烧杯内壁形成液膜,爬行到外壁,终于可将烧杯中所盛He II完全流尽;又如He II可以无阻尼地通过毛细管道流动。这一现象被卡皮查称为超流动性。
氦4是玻色子,因而遵循玻色-爱因斯坦统计,可以容许许多粒子占据同一量子态。在1938年伦敦就将超流态出现的物理原因归结为氦4原子的玻色凝聚。T[sub]λ[/sub]对应于发生玻色凝聚的温度,即当T=T[sub]λ[/sub],宏观上一部分氦4原子凝聚在动量为零的能态(基态)成为超流体。伦敦根据理想气体的凝聚理论来估算T[sub]c[/sub]为3.1K,和T[sub]λ[/sub]的值相差不大,考虑到氦原子之间有强的相互作用,因而和理想气体的理论结果存在一些差异也非常合理。而且随着温度的下降,基态上的超流体的成分增大,一直到T=0,100%粒子都进入超流体。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:17:24 | 显示全部楼层

世纪疑谜——超导性与超流性

 
超流态即对应于动量为零的基态宏观地被占有。在玻色凝聚后的原子系统,所有的原子仿佛连锁在一起,具有相同的能态和动量,其行为宛如一个硕大无朋的原子,因此它就和通常流体完全不同,呈现出奇妙无比的超流动性。在量子力学中是用波函数ψ=|ψ|exp(iθ)来描述单个粒子的状态,超流体既然对应于一个宏观的大原子,就可以引入一个宏观波函数ψ=√ρexp(iθ)来描述其状态。这里ρ相当于超流体的密度,θ为其相位,在整体内具有相同的θ值,体现了相位的相干性。
考虑处于环状通道中的超流体,处处的动量应具有完全相同的值,即p,沿环路的回路积分就等于∮p•dl=nh,这里的n=0,±1,±2,…整数。这一条件与玻尔描述氢原子的容许轨道的条件完全一样。玻尔的量子化条件,可以根据电子波动性质和动量与波长的德布罗意关系p=h/λ来导出。在超流体的情况,满足这一条件,就相当于沿积分回路有整数的波长,因而说明了超流序也是量子系统的波序,见图8.16。实验也证实了超流体的环流量子化。根据环流的量子化也可以对超流体作持续流动这一现象提供直观的理论解释。如果超流体的动量为某一不等于零的值,要改变其动量十分不易,因为所有原子的动量均需要作等量的量子跃迁。
伦敦(F.London)于其1950年的专著《超流体》中,首次明确指出超导电性与超流性的物理根源是相似的,都是宏观量子现象的体现。也在1950年,金兹堡(V.I. Ginzburg)与朗道提出具有普适性的唯象超导理论,能够全面描述超导体的热力学性质与电磁性质,不论是均匀的,还是非均匀的。这一理论的关键在于引入一个类似于宏观波函数的序参量,与伦敦的考虑不谋而合。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:18:06 | 显示全部楼层

世纪疑谜——超导性与超流性

 
电子是费米子,这也是固体电子论的基本出发点。如何给出超导电性的微观图像,困扰了好几代物理学家。但为何费米子的系统也会出现宏观波函数,类似于玻色凝聚体呢?这就迫使科学家考虑电子可能通过配对成为准玻色子。最初有一位化学家提出电子配对像原子配对形成分子。这一设想从理论上说不通,强烈的库仑斥力会将它们拆散。一直到1956年库珀(L.Cooper)提出了正确的配对图像,即在动量空间中,费米面上一对自旋相反、动量相反的电子配对。这种配对可以形象地比拟为一场奇异的交谊舞会。一对对舞伴,并不像通常那样,相互依偎,而是分处在人群之中,遥相呼应:音乐声中,翩翩起舞,此进彼退,中规中矩。1957年美国伊利诺大学的三位科学家巴丁(J.Bardeen)、库珀与施里弗(J.Schrieffer)提出的BCS理论,配对的媒介是电子与晶格振动相互作用,导致了在动量空间的长程有序。这样就成功地从微观上解释了超导现象。困扰科学家多年的疑谜,遂告破译,有人比之为攀登上了凝聚态物理学的珠穆朗玛峰。
接下来就是多方面考验其正确性,这里仅举一例:和超流体的环流量子化相似,超导态的环状导体存在磁通量子化的现象:∮p•dl=e*Φ/c=nh,这里e*为有效电荷,按照电子配对理论,应是电子电荷e的两倍。这就导出超导电流引起的磁通应是量子磁通Φ[sub]0[/sub]=hc/2e的整倍数,见图8.17。实测出量子磁通的数值正好证实了电子配对的设想。在这里,我们也可以很好地理解,为什么超流体和超导体的环状通路里会产生持续电流的现象。因为涉及的不是单个原子或单个电子运动的问题,这涉及环流或量子磁通的跃变,涉及的能量变化将远远超过低温下kT的量级。因而持续流动现象十分稳定,不易衰减。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 12:19:55 | 显示全部楼层

世纪疑谜——超导性与超流性

 
也在1957年,阿布里柯索夫(A.A.Abrikosov)引入磁通列阵的概念,成功解释了迈斯纳效应不完全的超导体(即Ⅱ类超导体)中磁学性质。20世纪60年代初,科学家发现了高临界电流的超导体,可以用作为产生强磁场而能耗甚低的线圈,打开了超导在强电领域中应用的局面。目前医用的核磁成像仪中都应用了超导线管来产生强磁场。1962年,约瑟夫逊(B.Josephson)发现了配对电子通过绝缘薄层的隧道效应,又开辟了超导电子学这一新领域。但由于传统的超导体需要在液氦条件下工作这一苛刻条件,阻碍了其广泛的使用。
氦3原子也是费米子,是否也可以通过原子配对的方式来实现超流态呢?经过多年探索,1972年美国康奈尔大学的沃谢罗夫(D.D. Maeroff)、理查森(R.C.Richardson)与李(D.M.Lee)在2mK的极低温条件下发现了氦3超流态。两个氦3配对成为玻色子。但与常规超导电子配对有显著差异:原子对的总角动量不为零,因而是各向异性的超流体(氦4超流体是各向同性的),而且存在有几种不同的超流相。莱格特(A.Leggett)对此作了理论解释。还应该强调一下氦3超流态不仅是极低温实验室的珍品,还具有普遍意义的一面。天体物理学家将快速旋转的脉冲星认定为中子星,其内部的中子物质可能是超流体,虽则其温度达到1亿K,但特高的密度每立方厘米1亿吨可使其简并温度达到1千亿K。
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