关灯
登录后可将在线时长兑换成盟币 ,连续在线 [1] 小时后,每小时 [0.5] 盟币.
×

你已累计兑换次数 0

你已累计兑换积分 0盟币

[资料] 熵的世界3

[复制链接]
henryharry2 发表于 2012-8-12 11:14:46 | 显示全部楼层

分等定级——从遍历系统到伯努利系统

 
这样一来,某一物理量在相空间的平均值就等于该量的时间平均值。例如,吉布斯的系综理论中,等能量面上具有均匀密度,就是一个实例,而且由此发展的平衡态统计力学获得了非凡的成功。但数学家对待问题的方法就不一样,他们严格论证了若干具体的动力学系统是否遍历,还进一步探讨遍历系统的特征,从而发展了现代的遍历理论,对此,伯克霍夫(G.D.Birkhoff)、霍普夫(E.Hopf)等作出了重要贡献。
temp.jpg
图33 与遍历系统相应的一个小格子在相空间中的典型演变。随着时间的流逝,“体积”和形状保持不变,但小格子现在是沿着螺旋线穿过整个相空间。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:15:37 | 显示全部楼层

分等定级——从遍历系统到伯努利系统

 
后来发现单纯的遍历条件,尚不足以保证系统由非平衡态向平衡态趋近,还需要引入具有更强随机性的混合系统。所谓混合,可以用日常生活的实例来说明:将乳脂加到咖啡里,通过搅拌,可以达到完全的混合。有些系统既具遍历性,又具混合性;也可能有只具遍历性,而不具混合性的系统,但反过来则不行。图10.4示意了相空间中不同类型的流动,就显示了只具遍历性,而不具混合性的例子。其中(a)非遍历的;(b)遍历的但不是混合的;(c)混合的。
temp.jpg
图34 与“混合”系统相应的一个小格子在相空间中的典型演变。体积仍不变,但形状却在变:小格子逐步布满整个相空间。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:16:16 | 显示全部楼层

分等定级——从遍历系统到伯努利系统

 
所以我们说在随机性的等级上,混合性比遍历性高了一级。动力学中的混合是指在相空间中的行为,混合系统的特征在于能量面上的初始区域分散为一束纤维,最终布满整个面。初始近邻之间的关联必须随时间衰减,但对其衰减时率却不规定限制条件。如果运动中出现局域轨道的不稳定性,即相邻的轨道将作指数式的分离,而关联也作指数式的衰减,这种系统被称作K流(根据Kolmogorov命名)。

尚有一类系统,随机性比K系统更强,被称为伯努利系统,和轮盘赌的轮盘一样,完全无规地显示出一系列数字,虽则统辖它的方程都可以从牛顿力学推导出来。有趣的是,70年代末美国加州大学有一批青年物理学家热衷于轮盘赌的物理学研究,他们的赌场淘金梦虽未能实现,但却为混沌动力学(即决定方程中的无规行为的研究)的建立作出贡献而得到补偿。

遍历性(统计系综)、混合性(趋近平衡)、K流、伯努利流(等效于轮盘赌的轮盘),顺着这一序列,系统的随机性越来越强,在序列中后面的系统蕴含着前面系统的所有条件,反之则不然。这样一个纯粹的决定论式的系统,却和轮盘赌一样,表现出完全无规的行为。图10.5画出了不同随机性系统的等级,等级愈高,随机性也愈突出。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| 神的猜想 发表于 2012-8-13 10:02:04 | 显示全部楼层
 
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
henryharry2 发表于 2012-8-16 11:49:19 | 显示全部楼层

面包师与猫——相映成趣,共参妙理

 
为了阐述决定论的规律中可能出现随机性的结果,科学家设想出稀奇古怪的面包师映象。所谓映象,即图样按一定规律变换。顾名思义,这就相当于揉面团,将方的压扁,一切为二,再摞起来,见图10.6。这样的过程可以持续地进行下去。在变换中面积保持不变,类似于微正则系综的密度保持不变。这样系统中的任意点(x, y),在不同的时间内,将在左右两侧作无规的转移。
temp.jpg
图39 在0时刻从“母划分”开始(见正文),我们重复实行面包师变换。这样,就产生了水平条纹。类似地向过去演变,我们得到垂直条纹。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 11:49:55 | 显示全部楼层

面包师与猫——相映成趣,共参妙理

 
面包师映象也显示出某种不可逆的倾向,如果接连地进行这一映象(称为迭代),从1到2,……,将得到越分越细的横条纹,显示出某种表观的不可逆的倾向。但是这种映象也可以反其道而行之,即进行逆映象,从左侧开始,进行横向压缩到一半,沿中分横线切,再并排起来,若持续进行下去,就会导致纵条纹越来越细。这样在t>0方向和t<0方向都呈现了不可逆性的倾向。因而,这种简化的动力学系统仍然保留着对时间反演的对称性。
可以从数学上证明面包师映象具有遍历性和混合性,体现出了随机性的行为,尽管映象是按决定性的规律进行的。俄国数学家阿诺德(V.I.Arnold)则提出了更加复杂的猫映象。从图10.8中所示:从图10.8中左侧的方块进行拉伸形成了中间分处于六个方块中的平行四边形,再将个块图像切下拼砌为方块。这一变换过程也保持面积不变,但原始的猫脸已面目全非。这样的过程也可以持续进行下去。同样可以从数学上证明猫映象也具有遍历性和混合性。
设想原始图像是图10.9中所示蜷缩于左下角一隅的小方块(图10.9(a))。经过2次迭代的猫映象,演变为沿右上角延伸出去,而在与它正交方向受到压缩的长条图像(图10.9(b));经过3次迭代,成为图10.9(C);经过10 次迭代,就演变为分布在沿伸长方向1百万根平行而不规整的细线,但粗略一看,就十分类似于许多点子均匀分布于整个方块中的图像(图10.9(d))。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 11:50:44 | 显示全部楼层

面包师与猫——相映成趣,共参妙理

 
这一演变的始态和终态和本书第三章中棋盘游戏的始态(图3.2)和终态(图3.4(b))不谋而合,均可以用模拟集中于小方块中的一群分子扩散到整个方块之中的过程。从这里可以看出一个具有决定论式的变换可以导致类似于不可逆的物理过程。
temp.jpg
图36 面包师变换(B)和它的逆变换(1/B)的实现。两个斑点的路径给出对变换的说明。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 11:51:15 | 显示全部楼层

定量刻画——Lyaponov指数与动力学熵

 
庞加莱发现天体力学的三体问题是不可积的,其轨道对初始条件极其敏感。两根初始条件十分近似的轨道随时间而逐渐发散。为了定量描述对初始条件是否敏感,可以利用以俄国数学家李雅波诺夫名字命名的李雅波诺夫指数。设想初始位置十分近似的两点位置分别为x和y,若其差值随着时间作指数式的增长,在时间t以后,其差值约可表示为(y-x)∫exp(λt)dt。
若λ<0,两点差距不会随时间而拉开,因而系统对初始条件是不敏感的,是可积系统的特征;反之,若λ>0,两点差距将随时间作指数式的增长,是不可积系统(也称为随机系统或混沌系统)的特征。当然也可以将李雅波诺夫指数推广到多维的相空间中去。俄国数学家A.N.Kolmogorov为了定量描述动力学系统的行为将熵的概念引申到动力学系统之中。这种熵被称为动力学熵或K熵。动力学熵或K熵的来源是基于香农的信息论。

我们不妨从猫映象的多次迭代讨论出发,始态A是均匀分布在左下角的小方块,小方块随着映象的迭代变得细长,而且分成多支,经过了10次迭代后看起来像是均匀分布在单位方块之中。假设我们对于单位方块中相近两点分辨本领为δ。由于原始小方块沿着不稳方向拉伸,通过每次迭代,我们对于始态中的各点位置的分布就分辨得更加清楚。换句话说,这表明我们从图像取得信息的可能性将随映象不断进行而作指数式的增长。以上的例子表明了具有正值的李雅波诺夫指数的动力学系统产生获得信息的可能性,这就和K熵有关了。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 11:55:35 | 显示全部楼层

不解的疑团——热寂之谜

 
回到热力学第二定律的描述上来。热力学第二定律把不可逆热传播的结果纳入了能量守恒的世界,表明了自然界存在着一种使能量逐渐贬值的“普遍”趋势。这里的“普遍”一词,显然具有宇宙的含义。由此,自然界中能够产生效应的差别在逐渐减小,世界在从一种转换走到另一种转换的过程中逐渐用完了它的种种差别,而趋向热平衡的终态。

有什么系统能比整个宇宙更“孤立”呢?对于宇宙来说,已根本不存在“外界”,没有任何体系存在于宇宙之外。正是这个概念构成了解情况1865年克劳修斯对热力学两个定律所作的宇宙学的论断:“宇宙的能量是常量;宇宙的熵趋于最大。”热力学定律得以提升到宇宙学的高度,显示了豪迈的气魄。现在,不断增加的熵控制了自然过程的方向,这些过程最终把系统带到对应于熵值极大的状态,即热力学“平衡态”。正如克劳修斯所说:

“宇宙越是接近于这个熵是极大的极限状态,那就任何进一步的变化都不会发生了,这时宇宙就会进入死寂的永恒状态。”我们已经知道,对于时间问题的认识有一递进的过程。19世纪在物理学中引进时间之箭,然而,有趣的是,时间之箭导致了趋向平衡和死寂。这多少使人有点茫然不知所措。“热寂”之说困惑了物理学界甚至整个科学界,乃至于哲学界。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-16 11:56:56 | 显示全部楼层

不解的疑团——热寂之谜

 
“热寂”之说困惑了物理学界甚至整个科学界,乃至于哲学界,引起震惊、关注,争议延续一个多世纪。显而易见,“热寂”是属于科学上无法用观测和验证做出最后判决的学术问题,引起关注以致争论是难免的。应该说,在能量守恒成功地推广到宇宙,“放之四海而皆准”之后,作为一个正确的自然科学规律的热力学第二定律推论到整个宇宙是很自然的事,有点水到渠成的味道。这些要完全摈弃这个推论——“热寂”——并非轻而易举。
诚然,一切差别、一切变化终归于消灭的“死寂”状态,展示了一幅平淡、无差别、死气沉沉的宇宙图像,给出令人沮丧的前景——“世界末日”。然而,就目前而论,完全看不到宇宙有任何“热寂”的迹象,实际展现在人们面前的宇宙图像完全是一幅丰富多彩、千差万别、生机盎然的,与“热寂”所描述的图像完全背道而驰。“热寂”之说是以成为一谜。

谜底何在呢?为解开这个谜,使物理学从此困境解脱出来,各种设想、假说,众说纷纭、莫衷一是。最具影响力的当推玻尔兹曼和朗道的两种观念。一种是玻尔兹曼提出的,即所谓涨落的说法。他认为整个宇宙处于平衡状态,但是我们的地球正好处在一个大的涨落状态,是偏离平衡态的。这一说法也有其困难之处。涨落是偏离平衡态的,但它毕竟还是接近于平衡态,处于平衡态的附近,小的涨落不断发生而大的涨落十分罕见。因而,由平衡态出发,单纯由于涨落效应而避免“热寂”,看来难以成立。但是在远离平衡态,涨落可能起了触发失稳的作用,导致不同形式的花样的产生和覆灭,对于形成丰富多彩的世界起了相当关键的作用。这也许是玻耳兹曼本人还没有意想到的。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 
您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则


2威望

1546盟币

4关注

3粉丝

19帖子

排行榜
作者专栏

关注我们:微信订阅号

官方微信

APP下载

全国服务热线:

4000-018-018
Copyright   ©2005-2018  博研网Powered by©Myboyan.com    ( 粤ICP备10062441号 )