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[资料] 熵的世界3

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henryharry2 发表于 2012-8-12 11:06:39 | 显示全部楼层

桌球戏的启示——回归玻尔兹曼方程

 
在这里,我们可以简单地介绍俄国数学家西奈(Y.G.Sinai)等人所研究的桌球系统的理论。这一理论采用了漂亮的数学而获得了十分重要的物理成果。我们用桌球系统来模拟洛伦兹气体,即自由电子与无规或周期性分布的原子群相散射而引起金属中电阻的理论。

他们首先采用了等径的硬球(或约化球盘)作为散射体稀疏地散在桌面上或空间中,然后用一束点状微粒射向球体后,球体之间来回碰撞。假设所有的碰撞都是弹性的,即粒子的速率保持不变,但运动方向改变。这意味着能量守恒,但动量不守恒。西奈首先证明了这样的系统具有遍历性和混合性。进而计算了其李雅波诺夫指数,获得了正值的结果。

我们在这里简单地介绍一下这一计算的基本思路。考虑两个相邻的差距为甚小的微粒,平行地射向球体,被球面弹出,平行运动的粒子轨道变得分散。这一弹性碰撞问题的结果和光线为镜面反射的光学问题完全相同,类似于以圆柱面或凸球面作为哈哈镜将人体伸展的效果。如果刚开始发散,粒子轨迹经过球体的多次反射,粒子间差距将越来越大,因而会得到指数式发散的结果,即具有正值的李雅波诺夫指数。这表明系统呈现了明显的随机性动力学行为。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:07:17 | 显示全部楼层

桌球戏的启示——回归玻尔兹曼方程

 
将桌球系统从二维推广到三维,数学更复杂一些,但物理的结果类似的。令X(t,θ,x)表示一个质点在时间t的位置,显然是该质点的初始条件(包括位置x与方向角)与时间的函数。假如初始条件的不确定性,可以用概率密度p(x)dx来表示。由于质点运动轨迹对初始条件具有敏感性,这样,随着时间t的增大,它会导致X(t,θ,x)的概率分布弥散化。这是微观尺度下的行为。

要从微观尺度下粒子的行为过渡到宏观尺度下系统的行为,可以引入坐标变换Y=εX,这里的参量ε为长度的倒数。这样Y(t)=εX(t/ε,…),当ε→0,典型的轨迹在宏观尺度下看来,就类似于布朗运动,而这里Y(t)将微弱地收敛到始于原点的d维布朗运动,从而可以从爱因斯坦关系式来求出所对应的扩散系数。这样一来,我们就可以从微观的、可逆的硬球系统质点动力学推导出ε→0极限下的不可逆的玻尔兹曼方程。

从而完成了从微观上随机动力学过渡到宏观上具有不可逆性的统计力学。反过来,科学家也可以利用玻尔兹曼方程倒过来计算李雅波诺夫指数,表明其中有一些确实是正值。这两种截然相反的处理方法,殊途同归,获得相当一致的结果。当然这一领域的研究工作还在蓬勃展开。但总的说来,玻尔兹曼所走的道路得到了进一步的肯定,澄清了一些缺失的环节。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:08:00 | 显示全部楼层

桌球戏的启示——回归玻尔兹曼方程

 
在这里我们可以更清楚明了推演玻尔兹曼方程所需的碰撞数假设的玄机,就在于已经隐含了随机性的动力学,或换言之,微观上的混沌。有两位科学家柯亨(E.G.Cohen)与加罗伏蒂(G.Gallovotti)据此就提出了具有普遍意义的“混沌假设”,作为非平衡态统计力学的基础,类似于过去玻尔兹曼提出的遍历假设作为平衡态统计力学的基础。虽则我们至今还无法确证实验室中的系统确实是遍历性的,但20世纪初吉布斯完成的系综理论为平衡态统计力学中具体问题的计算提供了相当完备的理论体系。
当今许多科学家正在为建立非平衡态统计力学的普适理论在努力工作,而“混沌假设”有希望在这些理论中扮演“遍历假设”在平衡态理论中的角色。很显然只涉及熵守恒的平衡物理学是一个比较容易的问题,在1902年已由吉布斯比较完备地建立起来了。但是涉及熵增加并和不可逆性及耗散性相联系在一起的非平衡态统计物理学显然要困难得多。虽然经过20世纪中众多学者的努力,澄清了不少问题,已经提出了多种理论方案,但尚未融会贯通起来。完备的理论尚待建立。著名统计物理学家茹埃尔(D.Duelle)于2004年所说的话:“我相信我们已经走上了理解非平衡态物理学的正确途径…”想来会得到多数学者的首肯。
当然仍然有个别科学家对此持有异议。一个著名的例子就是普里戈金,他早年的工作以阐明非平衡态耗散结构而知名于世,并获得了诺贝尔奖。他后来倾向于否定玻耳兹曼两个层次的看法,即在可逆的微观动力学理论基础上来建立宏观不可逆的演化理论,普里戈金坚持微观动力学也应该是不可逆的,并提出一套取而代之的微观不可逆动力学理论,还在他的一些有影响的科普著作(如“从存在到演化”,“从混沌到有序”等)中宣扬这一观点。但是普里戈金的这种看法并没有成为科学界的共识,他提出的不可逆微观动力学理论也未获得实验的佐证。因此本书对此只好略而不论。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:08:49 | 显示全部楼层

分析与澄清——罐子游戏

 
通过对于这些诘难的辩解可以看出玻耳兹曼的观点也有了变化。他已意识到,不可能单纯用动力学理论来导出不可逆的结果。在推导之中,实际上已经蕴含了一些带有统计性的假设,因而在后期,更加强调统计方面的问题:玻耳兹曼的绝笔是为《数理科学百科全书》所写的题为“物质的动力学性质”的专论,其中只简略提及统计理论的问题。他原已答应了该书主编克莱因(F.Klein)另写一篇关于统计力学基础的专论,但由于他的去世而未能实现。后来,由他的学生埃伦费斯特夫妇(P.and T.Ehrenfest)撰写出来了。这一专论对于统计物理的一些基本概念进行了精辟的分析和澄清。
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图23 埃伦费斯特的罐子模型。N个球分布在A和B两个容器中。在时刻n,有k个球在A中,N-k个球在B中。每隔一定时间有一个球随机地从罐A取出并放入罐B。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:09:38 | 显示全部楼层

分析与澄清——罐子游戏

 
文中,它们提出了一个“罐子游戏”:假定N个球分布在a,b两个罐子里,见图5.7。设想每隔一段时间τ任选一个球,并将它从一个罐子转移到另一个罐子。假设在某个时间,a中有k个球,b中有N-k个球。假设罐中球的转移几率与罐中的球数成正比,那样,将一个球从a→b的跃迁几率是k/N,而从b→a的跃迁几率为1-k/N。如果这一实验持续地进行下去,最终将得到球的最可几分布,见图5.8。
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图5.8埃伦费斯特罐子模型中向平衡态(k=N/2)的趋近(示意图)
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:10:42 | 显示全部楼层

分析与澄清——罐子游戏

 
当球数N很大时,结果当为a,b两罐中各有N/2个球,这不难通过具体计算或实验予以验证。这样,Ehrenfest摈弃了玻尔兹曼理论中的动力学部分,而将蕴含在“碰撞数假定”中的统计假设鲜明地表达出来。跃迁几率被认为和系统原先的历史无关。令在罐中找到k个球的几率为P(k),可以定义H为:

H=ΣP(k,t)log[P(k,t)/P],这里,P为平衡态罐中球体的几率。将展示出和H定理相似的行为,H值在平衡态趋于极小值(零),当然存在着涨落。罐子游戏将H定理的统计特性揭示得更加清楚。我们也可以应用这一游戏来阐明化学反应中趋近平衡的过程。埃伦费斯特继承了玻耳兹曼的衣钵,为统计物理的发展做出了重要的贡献;令人遗憾的是,虽则他具有敏锐的批判头脑,但对自己的工作成果也同样地缺乏自信心,结果竟步了老师的后尘,于1933年自杀身亡。
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图25 和埃伦费斯特模型对应的H量(定义见正文)随时间的演化。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:11:16 | 显示全部楼层

“速度反演”——对H定理的诘难

 
按此,玻耳兹曼满以为热力学第二定律可由分子动力论获得。由于H定理的显然成功,更使玻耳兹曼以为,H 定理即相当于建立在动力论上的热力学第二定律。玻耳兹曼的工作是,企图从可逆的经典动力学理论,导出不可逆的热力学演变过程。无疑,他这方面的工作,取得了有益的成果,但亦受到不少非难。关键在于推导的前提是经典动力学方程,对于时间反演是对称的,而推导的结果是玻耳兹曼方程与H定理,则对于时间反演是不对称的。推导过程中出现了对称性的破缺,结果是否可靠,引起人们的疑虑。
下面讨论一下对H定理的两种诘难,有益于澄清问题。先来看第一个洁难:速度反演。
这是罗施密特(L. Loschmidt)于1876年提出的。他认为既然动力学的轨道是完全可逆的。如初始时刻H值对应于初始值,经过分子的运动和碰撞过程,到t时刻降为H。如果在t这一瞬间,将所有分子运动的速度反演,由于分子运动轨道是完全可逆的,经过同样一段时间之后,H值应依循来时途径上升到初始值。这一结果显然和H定理相违背。应该说这一诘难还是挺有道理的,近年来一些计算机实验对这一问题提供了有价值的信息。图5.5显示了计算机对二维硬球系统作H的计算,图中空心圈表示H值随时间作单调下降以及少量的涨落;实心圈表示50次或100次碰撞之后发生速度反演后的情形。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:12:07 | 显示全部楼层

“速度反演”——对H定理的诘难

 
100个硬球系统的H值的计算机模拟显示,随误差的增大,H值的上升量在减小。可以看出,随着硬球数的增加,H值更加接近于玻尔兹曼所预言的单调下降,当粒子数较小时看到了涨落所引起的偏离。图5.5显示了50次碰撞后及100次碰撞后,进行速度反演的结果。在速度反演后,显然看到H值的增大(和H定理相违背)向始态H值的逼近;但在恢复或接近恢复初始态的H值以后,又重新出现玻尔兹曼所预言的单调下降。
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图27 用100个“硬球”作的模拟。经过50或100次碰撞后进行速度反演时H量的变化情况。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:12:53 | 显示全部楼层

“速度反演”——对H定理的诘难

 
这一结果表明,玻尔兹曼的描述,对于稀薄气体只是提供近似的动力学方程,而不是确切的运动方程。它还要求初始条件是完全无序的,并不具有相关性。的确,可能存在和它背离的行为。通过对于诘难所提问题的考虑,玻尔兹曼本人观点也有所调整。他放弃了原先对于玻尔兹曼方程绝对化的论述,而更加强调其概率论的这一方面。用他自己的话来说:

单纯用运动方程无法证明函数H恒减,只有根据概率论可以导出,如果始态并非为某一目的而特意安排的,则H减少的几率始终比它增加要大……如果某一给定状态H值比最小H要大,虽然不能肯定但非常可能。H将减少而最终将异常地接近(如果不是达到)最小H,而所有随后的瞬间亦复如此。如果在某一中间状态,将所有速度反演,我们将获得例外的情况,即在一段时间内H增加,然后再减小。但这种特例的存在并不能推翻我们的定理。正好相反,概率论表明了这些特例的几率在数学上不为零,只是非常小而已。
H定理适用的情况要求初值条件是完全无规的,速度反演则意味着高度关联的初值条件,因而在一段时间之内获得H上升的例外结果也是不足为奇的。如果在计算机实验中对速度反演值人为地引入误差,将导致H值上幅度减小,乃至于基本抹平(见图5.4)。这反映了初始条件的无规性对于H定理的成立非常重要。
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 楼主| henryharry2 发表于 2012-8-12 11:13:50 | 显示全部楼层

分等定级——从遍历系统到伯努利系统

 
1871年玻尔兹曼提出了动力学系统的遍历(ergodic)假设,作为统计物理的理论基础。所谓遍历,或更确切地说,各态历经,是指描述动力学系统状态的轨道,在足够长的时期内将扫过相空间等能量面上的任意点。后来人们发现,这样的提法在数学上不妥,一根轨道不可能覆盖整个曲面。于是就退一步将提法修正为准遍历假设,即将轨道通过任意点改为通过任意有限区域。物理学家每每认为,遍历假设在他们所研究的系统中理所当然地成立。
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图32 相空间p, q内一个小格子的时间演变。小格子的“体积”和形状不随时间变化,而且相空间的大部分是该系统不能接近的。
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