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数学难题

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lworld 发表于 2006-6-8 14:01:12 | 显示全部楼层
 
費馬猜想

        費馬猜想﹝Fermat's conjecture﹞又稱費馬大定理或費馬問題,是數論中最著名的世界難題之一。1637年,法國數學家費馬在巴歇校訂的希臘數學家丟番圖的《算術》第II卷第8命題旁邊寫道:「將一個立方數分為兩個立方數,一個四次冪分為兩個四次冪,或者一般地將一個高於二次的冪分為兩個同次的冪,這是不可能的。關於此,我確信已發現一種美妙的証法,可惜這裏空白的地方太小,寫不下。」費馬去世後,人們找不到這個猜想的証明,由此激發起許多數學家的興趣。歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利克雷、柯西等大數學家都試証過,但誰也沒有得到普遍的証法。300多年以來,無數優秀學者為証明這個猜想,付出了巨大精力,同時亦產生出不少重要的數學概念及分支。
  

        若用不定方程來表示,費馬大定理即:當n > 2時,不定方程xn + y n = z n 沒有xyz≠0的整數解。為了証明這個結果,只需証明方程x4 + y 4 = z 4 ,(x , y) = 1和方程xp + yp = zp ,(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1﹝p是一個奇素數﹞均無xyz≠0的整數解。
  

        n = 4的情形已由萊布尼茨和歐拉解決。費馬本人証明了p = 3的情,但証明不完全。勒讓德﹝1823﹞和狄利克雷﹝1825﹞証明了p = 5的情形。1839年,拉梅証明了p = 7的情形。1847年,德國數學家庫默爾對費馬猜想作出了突破性的工作。他創立了理想數論,這使得他証明了當p < 100時,除了p = 37,59,67這三個數以外,費馬猜想都成立。後來他又進行深入研究,証明了對於上述三個數費馬猜想也成立。在近代數學家中,范迪維爾對費馬猜想作出重要貢獻。他從本世紀20年代開始研究費馬猜想,首先發現並改正了庫默爾証明中的缺陷。在以後的30餘年內,他進行了大量的工作,得到了使費馬猜想成立一些充分條件。他和另外兩位數學家共同証明了當p < 4002時費馬猜想成立。
  

        現代數學家還利用大型電子計算機來探索費馬猜想,使p 的數目有很大的推進。到1977年為止,瓦格斯塔夫証明了p < 125000時,費馬猜想成立。《中國數學會通訊》1987年第2期據國外消息報導,費馬猜想近年來取得了驚人的研究成果:格朗維爾和希思─布龍証明了「對幾乎所有的指數,費馬大定理成立」。即若命N(x)表示在不超過x的整數中使費馬猜想不成立的指數個數,則 証明中用到了法爾廷斯﹝Faltings﹞的結果。另外一個重要結果是:費馬猜想若有反例,即存在x > 0,y > 0,z > 0,n > 2,使xn + y n = z n ,則x > 101,800,000。
  

        經過三百多年來歷代數學家的不斷努力,劍橋大學懷爾斯終於1995年正式徹底解決這一大難題。有興趣的讀者可參考本網頁資源中心﹝講義﹞一欄內「費馬最後定理」之資料。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:01:21 | 显示全部楼层
 
柯尼斯堡七橋問題

 
  18世紀初在普魯士柯尼斯堡鎮(今蘇聯加里寧格勒)流傳一個問題。這問題是城內一條河的兩支流繞過一個島,有七座橋橫跨這兩支流。問一個散步者能否走過每一座橋,而每座橋卻只走過一次。

 
  歐拉在1736年圓滿地解決了這一問題,證明這種方法並不存在。他在聖彼得堡科學院發表了圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合,每一座橋視為一條線,橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點,則這一點的線數必須是偶數。
 
      歐拉最後給出任意一種河──橋圖能否全部走一次的判定法則。如果通奇數座橋的地方不止兩個,那麼滿足要求的路線便不存在了。如果只有兩個地方通奇數座橋,則可從其中任何一地出發找到所要求的路線。若沒有一個地 方通奇數座橋,則從任何一地出發,所求的路線都能實現,他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。
 
        七橋問題引發了網絡理論之研究,被認為是拓撲學理論基本應用題,對解決最短郵路等問題很有幫助。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:01:29 | 显示全部楼层
 
孿\生素數猜想\\

  1849年,波林那克提出孿\生素生猜想(the conjecture of twin primes),即猜測存在無窮多對孿\生素數。   

        孿\生素數即相差2的一對素數。例如3和5 ,5和7,11和13,…,10016957和10016959等等都是孿\生素數。到1988年為止,人們所知道的最大的孿\生素數是 260497545 x 26625?。   

        1966年,中國數學家陳景潤在這方面得到最好的結果:存在無窮多個素數p,使p+2是不超過兩個素數之積。

        孿\生素數猜想至今仍未解決,但一般人都 認為是正確的。
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 楼主| lworld 发表于 2006-6-8 14:01:38 | 显示全部楼层
 
四色問題 

  英國人格思里於1852年提出四色問題(four colour problem,亦稱四色猜想),即在為一平面或一球面的地圖著色時,假定每一個國家在地圖上是一個連通域,並且有相鄰邊界線的兩個國家必須用不同的顏色,問是否只要四種顏色就可完成著色。 

  1878年英國數學家凱萊重新提出這問題,引起人們關注。次年,英國數學家肯普提出用可約構形證明四色問題,雖然他的證明過程有漏洞,但為該問題的解決指出方向。1890年英國人希伍德沿著這方向證明了任何地圖只用五種顏色著色便夠了,取得初步進展。1913年美國數學家伯克霍夫發現一些新的可約構形。 1968年挪威數學家奧雷等人證明了用四種顏色一定可以把不超過四十個國家的地圖著色,推進了四色問題的研究。70年代初人們努力尋找可約構形中的不可免完備集,因為用它可以通過數學歸納法證明四色問題。1976年美國數學家哈肯和阿佩爾花了1200多小時的電子計算機工作時間,找到一個由1936個可約構形所組成的不可免完備集,因而在美國數學會通報上宣稱證明了四色猜想。後來他們又將組成不可免完備集的可約構形減至1834個。  

        四色問題的研究對平面圖理論、代數拓撲論、有限射影幾何和計算機編碼程序設計等理論的發展起了推動作用。
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 楼主| tdragonfu 发表于 2006-8-18 18:41:43 | 显示全部楼层
 
看来还比较多吗
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诸葛曹操 发表于 2006-11-15 16:34:10 | 显示全部楼层
 
<hr><font color=red><center>★★★★★★本贴很好,强烈要求给楼主加分★★★★★★</center></font><hr>谢谢分享 好好学习一下
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samxu1988 发表于 2007-4-14 23:02:58 | 显示全部楼层
 
[s:37] 在矛盾中求发展。
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herosmzd 发表于 2007-4-16 19:52:37 | 显示全部楼层
 
怎么全是繁体的啊
[s:45]
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chenhuiying 发表于 2007-4-19 23:08:29 | 显示全部楼层
 
很佩服!我的偶像~支持一下!!1
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zjh982038 发表于 2007-4-20 20:14:08 | 显示全部楼层
 
这些问题有的需要用非常专业的数学知识才能解答,有的就没有解答
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